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Mir ist die Folge (an)n∈ℕ durch

a1 := c mit c ≥ 1

an+1 := 2 - an-1

gegeben. Ich habe bereits gezeigt, dass 1  ≤ an ∀ n∈ℕ (untere Schranke der Folge) und an ≤ 2 ∀ n ≥ 2 (obere Schranke der Teilfolge (an)n∈ℕ\{1}) und an+1 ≤ an (monoton fallende Folge).

Zuletzt möchte ich noch den Grenzwert ermitteln. Ich nehme an, dass er 1 beträgt. Für c = 1 ist der Beweis trivial, aber für c > 1 gelingt mir kein vollständiger Beweis. Es reicht vermutlich, zu zeigen, dass 1 die größte untere Schranke (= inf an) ist, aber auch das gelingt mir nicht.

Hat jemand eine Lösung oder einen Tipp für mich?


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$$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac1{a_n}\right).$$

Aber inwiefern hilft das? lim(n→∞)(2-an-1) ist ja äquivalent zu (2-lim(n→∞)(an)-1), und lim(n->oo)(an) ist doch immer noch unbekannt.

Sei \(a:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\). Dann gilt \(a=2-\frac1a\).

Ach so, stimmt! Vielen Dank für die schnelle Hilfe!

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Du hast ja schon gesehen, dass a = 2-1/a

im Kopf lösbar ist.

Hier noch die Überprüfung der extrem langsamen Konvergenz:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

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