Grenzwert der Folge a1>=1, a(n+1):=2-(1/a(n))

Question

Mir ist die Folge (a_n)_n∈ℕ durch

a₁ := c mit c ≥ 1

a_n+1 := 2 - a_n^-1

gegeben. Ich habe bereits gezeigt, dass 1  ≤ a_n ∀ n∈ℕ (untere Schranke der Folge) und a_n ≤ 2 ∀ n ≥ 2 (obere Schranke der Teilfolge (a_n)_n∈ℕ\{1}) und a_n+1 ≤ a_n (monoton fallende Folge).

Zuletzt möchte ich noch den Grenzwert ermitteln. Ich nehme an, dass er 1 beträgt. Für c = 1 ist der Beweis trivial, aber für c > 1 gelingt mir kein vollständiger Beweis. Es reicht vermutlich, zu zeigen, dass 1 die größte untere Schranke (= inf a_n) ist, aber auch das gelingt mir nicht.

Hat jemand eine Lösung oder einen Tipp für mich?

Comments

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac1{a_n}\right).$$

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Aber inwiefern hilft das? lim(n→∞)(2-a_n^-1) ist ja äquivalent zu (2-lim(n→∞)(a_n)^-1), und lim(n->oo)(an) ist doch immer noch unbekannt.

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Sei \(a:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\). Dann gilt \(a=2-\frac1a\).

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Ach so, stimmt! Vielen Dank für die schnelle Hilfe!

Answer 1

Du hast ja schon gesehen, dass a = 2-1/a

im Kopf lösbar ist.

Hier noch die Überprüfung der extrem langsamen Konvergenz:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm