Baumwipfelpfad Abstandsprobleme Vektoren

Question

In einem Wald ist ein Baumwipfelpfad geplant.

Er soll vier Aussichtsplattformen besitzen. Die Aussichtsplattformen sind untereinander durch Brücken verbunden 

Drei der Aussichtsplattformen sollen sich in den Punkten A(30,0/5,0/15,0) ,B(0,0/0,0/25,0) und D(0,0/50,0/30,0) befinden. Die vierte Aussichtsplattform ist in Abhängigkeit von h ( h∈R;15,0≤h≤35,0 ) im Punkt Ch(−15,0/45,0/h) geplant.

Die Punkte A, B und D liegen in einer Ebene E. Der ebene Waldboden liegt in der x-y-Koordinatenebene.

 E: 7⋅x−2⋅y+20⋅z=500

In der Planungsvariante II soll der Wert von h ( h∈R;15,0≤h≤35,0 ) so gewählt werden, dass für den zugehörigen Punkt Ch folgende Bedingungen gelten:

(A)  Der Abstand der Aussichtsplattform im Punkt Ch zur Ebene E soll höchstens 7,0m betragen.

(B)  Die Brücken von der Aussichtsplattform im Punkt Ch zu den Aussichtsplattformen in den Punkten B und D sollen einen Winkel von mindestens 90° einschließen.

Bestimmen Sie gemäß dieser Bedingungen alle möglichen Werte von h. 

Ich weiß, es ist viel Schreibkram, aber es wäre super, wenn jemand Lust hat sich mit mir durch die Aufgabe zu hangeln. 

Answer 1

Nur ein Lösungsvorschlag

(A) Der Abstand der Aussichtsplattform im Punkt Ch zur Ebene E soll höchstens 7 m betragen.

d = |7·(- 15) - 2·(45) + 20·h - 500| / √(7^2 + 2^2 + 20^2) ≤ 7 --> 27.31 ≤ h ≤ 42.19

(B) Die Brücken von der Aussichtsplattform im Punkt Ch zu den Aussichtsplattformen in den Punkten B und D sollen einen Winkel von mindestens 90° einschließen.

[-15, 45, h - 25]·[-15, 45 - 50, h - 30] ≤ 0 --> 25 ≤ h ≤ 30 (Fehler nach Kommentar behoben)

Comments

Hi,

schön, dass auch Samstag jemand hier ist.

Zu A: Wie kann ich hier nochmal die Fallunterscheidung machen, so dass ich den minimalen und maximalen Wert erhalte?

Ich bin mit dem GTR nur auf die 27.31 gekommen und ich muss den Ansatz für die Unterscheidung aufschreiben.

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|7·(- 15) - 2·(45) + 20·h - 500| / √(7² + 2² + 20²) ≤ 7

|20·h - 695| / √(7² + 2² + 20²) ≤ 7

Fall 1: 20·h - 695 <= 0 --> h ≤ 34.75

Fall 2: 20·h - 695 >= 0 --> h ≥ 34.75

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Die Winkelbedingung liefert  25 ≤ h ≤ 30

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Danke für die Berichtigung.

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Ah ok, jetzt ist es angekommen.

Fall 1

20h - 695 / √(7² + 2² + 20²) ≤ 7 /* √(7² + 2² + 20²)

20h - 695 ≤ 148,98

20h ≤ 843,98 /:20

h ≤ 42,199 

unter 42,199 ist der Abstand höchstens 7,0 m.

Fall 2 

-(20h - 695) / √(7² + 2² + 20²) ≤ 7 /* √(7² + 2² + 20²)

-20h + 695 ≤ 148,98

-20h ≤ -546,02 /:-20

h ≥ 27,31

über 27,31 ist der Abstand höchstes 7,0 m.

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Wie mache ich die Falluntersuchung hier?

(25-h)(30-h)<=0

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(h - 25)·(h - 30) ≤ 0

Wann ist ein Produkt ≤ 0? Wenn ein Faktor ≤ 0 ist und der andere ≥ 0

Also 

h - 25 ≤ 0 und h - 30 ≥ 0

Geht das denn überhaupt? Sicher nicht also noch

h - 30 ≤ 0 und h - 25 ≥ 0 --> h ≤ 30 und h ≥ 25

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Ja cool, ich habe es jetzt auch nochmal hinbekommen.

(h - 25)·(h - 30) ≤ 0 

Fall 1

25-h > 0 ∧ 30-h <0 

h<25 ∧ h>30 (falsch) 

Fall 2

25-h < 0 ∧ 30-h >0

h>25 ∧ h<30

:-)