Ansatz zur Kurvenscharaufgabe

Question

Kurvenschar: f_a(x)=(a-1)/(3) *x³ -ax

Für welche a ⊂ ℝ gibt es mehr als einen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Nullstellen bei x₁=0 x₂=+√ [ (3a)/(a-1) ]  x₃=-√ [ (3a)/(a-1) ]

Was ist der nächste Schritt ?

Answer 1

Nullstellen bei x₁=0 x₂=+√ [ (3a)/(a-1) ]  x₃=-√ [ (3a)/(a-1) ]

bei x = 0 gibt es auf jeden Fall eine Nullstelle.
a = 1 muß wegen Division durch 0 ausgeschlossen werden.

es gibt 3 Fälle für den Term in der Wurzel ( Radikanten )

- Term < 0 : aus kann keine Wurzel gezogen werden.
- Term = 0 : die Wurzel wäre auch 0 : x1 und x3 sind 0.
Da aber x1 bereits 0 ist ergeben sich keine weiteren Nullstellen.

- Term > 0 :
2 Möglichkeiten
3a > 0 und a -1 > 0 ( plus durch plus ergibt plus )
a > 0 und a > 1
Zusammen
a > 1

3a < 0 und a -1 < 0 ( minus durch minus ergibt plus )
a < 0 und a < 1
Zusammen
a < 0

Bei  a > 1 und a < 0 ergeben sich 3 Nullstellen
also mindestens eine Nullstelle mehr als 1 Nullstelle.

Schauen wir einmal was die Grafik sagt.

f_a(x)=(a-1)/(3) *x³ -ax

blau : a = 2
rot : a = 0
grün : a = -1

~plot~ (2-1)/3 * x^3 - 2*x ; (0-1)/3 * x^3 - 0 * x ; ( -1 -1)/3 * x^3 - (-1) * x ~plot~

Comments

Dankeschön.

Zusammengefasst kann man sagen, dass a>1 und a<0 sien muss oder?

Was ich nicht verstehe wieso gilt dann bei a > 1 und a < 0drei Nullstellen.

Das sind doch jeweils 2 oder

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Jetzt habe ich es verstaden, Danke.

LÖsungen:

a=0

a>1

a<0

Danke.

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Zusammengefasst kann man sagen, dass a>1 und a<0 sien muss oder?

Die Lösungsmenge ist  [ -∞ bis 0 [  und  ] 1  bis ∞ [

In dieser Lösungsmenge muß a liegen.

Was ich nicht verstehe wieso gilt dann bei a > 1 und a < 0drei Nullstellen.

Wir hatten doch gesagt : 1 Nullstelle ist immer bei x = 0.

Falls der Radikant positiv ist kann die Wurzel gezogen werden und es ergibt
sich ±. Plus und minus. Es ergeben sich dann mit x = null 3 Nullstellen.

Das sind doch jeweils 2 oder

Sieh dir die Graphen an. Die blaue und die grüne Kurve haben 3 Nullstellen
( Schnittpunkte mit der x-Achse ).

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Danke.                        

Answer 2

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" Was ist der nächste Schritt ? "

überlege, für welche a hat die Gleichung -> x^2 = (3a)/(a-1) ->

-> keine Lösung (dann hat deine Aufgabe nur die Nullstelle x=0 )
-> eine oder zwei Lösungen (dann hat deine Aufgabe zwei oder drei Nullstellen )

ok?

Comments

Das ist mir noch unkalr ich habe doch die Nullstelen berechnet...?

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na ja - aber du hast vergessen , dass nicht aus allen
denkbaren Zahlen eine Quadratwurzel
mit reellem Zahlenwert berechnet werden kann

also nochmal zu meiner obigen Liste
es gibt zB Werte für a,
für die du   sqrt( (3a)/(a-1) ) NICHT berechnen kannst in R
usw

denk also über die beiden oben notierten Fälle
nochmal in Ruhe gründlich nach ...

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: x₂=+√ [ (3a)/(a-1) ]  x₃=-√ [ (3a)/(a-1) ]

Man darf für a nicht 1 einsetzen.

Somit gilt ja nicht mehr:

a ⊂ ℝ

Das bedeutet : Bei x=0 ibt es mehr als einen Schnittpunkt oder?