Berechnen Sie: lim x→1 (x^3 + 3x^2 + 3x - 7)/(x^2 - 3x + 2)

Question

Berechnen Sie:

$$\begin{array} { l } { \text { a) } \lim \limits_ { x \rightarrow 1 } \frac { x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 3 x - 7 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } } \\ { \text { b) } \lim \limits_ { x \rightarrow \infty } \left( \sqrt { x ^ { 2 } + x + 2 } - x \right) } \end{array}$$

Answer 1

a) Der Zähler lässt sich durch Polynomdivision als (x - 1)(x^2 + 4x + 7) darstellen.

(x^3 + 3x^2 + 3x - 7):(x - 1) = x^2 + 4x + 7

-(x^3 - x^2)

4x^2 + 3x - 7

-(4x^2 - 4x)

7x - 7

-(7x - 7)

0


Der Nenner kann komplett in Linearfaktoren zerlegt werden.

x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)


Also ist (x^3 + 3x^2 + 3x - 7)/(x^2 - 3x + 2) = (x - 1)(x^2 + 4x + 7)/(x-1)(x-2) = (x^2 + 4x + 7)/(x - 2)

und lim (x -> 1) (x^2 + 4x + 7)/(x - 2) = (1 + 4 + 7)/(1 - 2) = 12/(-1) = -12


Bei der anderen Aufgabe kann ich leider nicht helfen.

Answer 2

Der Trick bei der letzteren ist wie üblich bei Grenzwerten solcher Gestalt die dritte binomische Formel:

 

lim (√(x^2+x+2)-x) = lim (√(x^2+x+2)-x)*(√(x^2+x+2)+x)/(√(x^2+x+2)+x)) = lim ((x^2+x+2)-x^2)/(√(x^2+x+2)+x)

 

Den Zähler kann man nun zu x+2 vereinfachen. Beim Nenner hat man ja nun eigentlich (√(x^2+x+2)+x).

Bei der Unendlichkeitsbetrachtung, kann aber der Wurzelausdruck als √x^2=x gesehen werden.

 

Wir haben also lim_x->∞ (x+2)/(2x)=1/2

 

Grüße