Ich kann auch Deutsch, nicht nur ihr mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum. Es heißt nicht Partial-sondern Teilbruchzerlegung ( TZ )
Unser Deutschlehrer Dr. Hugo Meder
" Für dich immer noch Herr DOKTOR; ich hab mit dir kei Säu gehüt . . . "
" Der Hugo ist groß, der Hugo ist mächtig. Ein Hugo Meder ist 1.60 m . "
Der Hugo versuchte uns häufig etwas beizubringen mit dem Mittel der demokratischen Volksabstimmung. Angenommen er hätte gefragt
" Muss man bei der TZ ein unübersichtliches gekoppeltes LGS für die Koeffizienten lösen? Ich bitte um Handzeichen für Ja. Gegenprobe . . . "
Rein von dem Stimmenverhältnis in Mathelounge wäre die Mehrheit wohl eindeutig bei " Ja " gelegen. Für solche Fälle hatte er dann immer das geflügelte Wort auf Lager
" Man soll die Stimmen wägen und nicht zählen; denn bei der Minderheit liegt der Verstand. "
Da gibt es nämlich eine Metode, die auf den seltsamen Namen " Zuhälterverfahren " bzw. " Abdeckerverfahren " hört - bei ===> Wolfram und ===> Arndt Brünner wirst du sie vergebens suchen. Ja hier auf Mathelounge wurden sämtliche Antworten auf eine einschlägige Frage als Spam markiert. Zunächst die traditionelle TZ , folgend dem Existenz-und Eindeutigkeitssatz für die Reihenentwicklung.
5 x 2 - 7 x + 20
---------------------------------------------------------- = ( 1a )
( x - 1 ) ( x 2 - 2 x + 10 )
= A / ( x - 1 ) + B / ( x - 1 - 3 i ) + B * / ( x - 1 + 3 i ) ( 1b )
Und wenn du jetzt z.B. A berechnen willst. Das tust du weiter nix als in ( 1a ) einsetzen x = 1 ; also immer genau die Polstelle, deren Beirag zu ( 1b ) du suchst. Halt Stop; das geht ja gar nicht. Denn der Faktor ( x - 1 ) wird ja singulär. Eben. Deshalb " halten wir ihn ( mit der Hand ) zu " ( Zuhälterverfahren ) bzw. " decken ihn ab " ( Abdeckerverfahren ) Die gebrochen rationale Funktion ( GRF ) welche nach dem Abdecken übrig bleibt, hört auf einen gar seltsamen Namen: der zu x = 1 adjungierte Integralkern G ( x ; 1 ) ( Hinter dem Semikolon wollen wir immer die Polstelle vermerken. )
5 x 2 - 7 x + 20
G ( x ; 1 ) = ----------------------------------------- ( 2a )
x 2 - 2 x + 10
5 - 7 + 20
A = G ( 1 ; 1 ) = ---------------------------- = 18/9 = 2 ( 2b )
1 - 2 + 10
Hier kam schon die e Frage nach dem Beweis dieses Verfahrens - nebst Spam-Markierung . . . Doch gestatte mir noch ein Wort in eigener Sache.
Eine Gleichung sei eine Waage, mit der du alles anstellen darfst voraus gesetzt, dass du es auf beiden Seiten machst. Du weißt, dass das nicht stimmt; so stellt etwa das Quadrieren einer Gleichung keine ===> Äquivalenzumformung mehr dar wegen der Plusminus Zweideutigkeit. Und das Gegenbeispiel, das uns hier beschäftigt: Multiplikation mit Linearfaktoren.
x - 1 = 0 | * ( x - 2 ) ( 3a ) ===> x = 1
( x - 1 ) ( x - 2 ) = 0 | * ( x - 3 ) ( 3b ) ===> x1 = 1 ; x2 = 2
( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) = 0 ( 3c ) ===> x1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 = 3
Dann tritt aber folgendes Problem auf. Bereits in der Mittelstufe tust du doch immer Gleichungen lösen, wo zwei GRF gleich gesetzt sind; und du musst x bestimmen. Bitte das folgende Beispiel nicht allzu ernst nehmen; das hab ich mir selber ausgedenkt mit der üblichen widerspenstigen Unterstützung von Wolfram. Ich weiß insbesondere nicht, ob es noch elementar zu rechnen geht.
5 x ² - 17 x + 12 1
--------------------------------------------------- = --------------- ( 4a )
( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 8
Mal Hand auf die hohle Heldenbrust; was würdest du unternehmen? Multiplikation mit dem HN , hat man dir " gelernt "
HN = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 8 ) ( 4b )
Und? Ist diese Multiplikation mit HN eine Äquivalenzumformung? NEIN .
Wenn du das nämlich machst, bekommst du u.a. eine Lösung x = 1 - voll widersinnig; angeblich ist doch x = 1 eine Polstelle . . .
Wenn du mir nicht glauben solltest. Nach der Multiplikation mit HN hast du auf jeden Fall auf der rechten Seite von ( 4a ) einen Faktor ( x - 1 ) . Und in dem ( quadratischen ) Zählerpolynom auf der linken Seite war schon die ganze Zeit ein Linearfaktor ( x - 1 ) versteckt - das kriegst du überhaupt nicht mit . . .
Sauber bist du immer, wenn du vorher die TZ anwendest; die ist wirklich unbestechlich. Und mit dem Zuhälterverfahren siehst du praktisch schon im Kopf, dass x = 1 keinen Beitrag leistet.
Es gibt auch Gleichungen - mir fällt grad nix Passendes ein. Da kommt jeder einzelne Bruchterm für sich ganz harmlos daher, als könnte er kein Wässerchen trüben. Wenn du dann aber die TZ ausführst nacheinander für Bruch u und Bruch v , dann stellt sich heraus, dass sagen wir Bruch u einen Plusbeitrag zu Linearfaktor x - x0 leistet und Bruch v einen genau so großen negativen. Weißt du, wie ich das meine?
TZ ist eine Form des Sortierens von Gleichungstermen; und sie liefert dir die Äquivalenzumformung für den HN .
Die Beweisskizze umfasst das nachgerade schwierigste Kapitel der ===> Funktionenteorie ( FT ) die ===> Residuen . In Anbetracht der Bedeutung der Sache werden sich eure Lehrer einiges überlegen müssen.
Dir dürfte bekannt sein, dass wenn man ein elektrostatisches Feld längs einer geschlossenen Kurve ( Kreis ) integriert, dass dann die Potenzialdifferenz Null raus kommt.
Und beim Magnetfeld? Stell dir vor, du hast mehrere Strom durchflossene Drähte durch ein Blatt Papier gepiekst. Das Integral ergibt dann die Summe aller Ströme, die INNERHALB des Kreises fließen.
Es gibt also Integrale, die unterscheiden können zwischen Innen und Außen. auch in der FT gibt es etwas Analoges.
Die Analogie zum elektrischen Feld wäre eine Funktion G = G ( z ) , die auf einer ===> offenen Umgebung der komplexen Ebene definiert ist; wir wollen fordern, dass G ( z ) innerhalb eines Kreises keine Polstellen besitzt. Dann besagt der ===> Cauchysche IntegralSATZ ( CIS ) , dass das Integral längs der geschlossenen Kreislinie verschwindet.
Und die Analogie zu den Drähten, die durch das Papier gepiekst werden, sind Polstellen. Die Funktion F in ( 5a ) hat einen einfachen Pol in z = z0 ( Wir erinnern uns; G hat keinen Pol innerhalb des Kreises. )
G ( z ; z0 )
F ( z ; z0 ) := 1/2 Pi i --------------------------- ( 5a )
z - z0
( max Zeichen )
