Gemeinsamer Punkt P Schar. fa(x)=-ax²+6x, a>0

Question

f_a(x)=-ax²+6x, a>0

Zeige, dass alle Graphen der Schar einen Punkt P gemeinsam haben.

Beispielsweise die Nullstellen:

N(0 I 0)  N(6/a I 0)

Zeige, dass P ein Berührpunkt der Schar ist.

f_a´(x)=2ax+6

f_a´(0)=2*a*0+6=6

Das geht doch nicht oder?, müsste da nicht 0 rauskommen, damit es ein Berührpunkt ist.

Denn die Funktionswerte x und y müssen doch jewils von oben stimmen oder?

Answer 1

- a·x^2 + 6·x = - b·x^2 + 6·x --> x = 0 --> Gemeinsamer Punkt ist (0 | 0)

f'(0) = 6

Damit haben alle Graphen der Schar den Punkt (0 | 0) mit der Steigung 6 gemeinsam. Damit Berühren sich die Graphen dort.

- a·x^2 + 6·x = - b·x^2 + 6·x

a·x^2 - b·x^2 = 0

(a - b)·x^2 = 0

Das ergibt eine Doppelte Nullstelle bei 0 und damit einen Berührpunkt.

Comments

Okay Danke.

Also gibt es kann man sagen zwei Lösungen oder?

1.)

Zeige, dass alle Graphen der Schar einen Punkt P gemeinsam haben.

Wir bilden die Nullstellen und wissen de ist bei (0I0).

Zeige, dass P ein Berührpunkt der Schar ist.

Dann bilden wir die Ableitung und setzen 0 ein. Danach erhalten wir 6.

--> Die Graphen berühren sich bie 0 I 0 und haben die Steigung 6.

2.)

Zeige, dass alle Graphen der Schar einen Punkt P gemeinsam haben.

WIr setzen die Funktionen gleich:

f_a(x)= -ax² + 6x  und f_b(x)= -bx² + 6x   (a≠b)

Und wissen, dass der Schnittpunkt bei 0 I 0 ist.

Zeige, dass P ein Berührpunkt der Schar ist.

Dann bilden wir die erste ABleitung jeweils und setzen sie gleich, kommt 0 raus wissen wir dass dort der Berührpunkt ist.

-> Die Graphen berühren sich bei 0 I 0 da dort die Funktionswerte und Steigungen gleich sind .

Stimmt das so ?

---

Dann bilden wir die erste ABleitung jeweils und setzen sie gleich, kommt 0 raus wissen wir dass dort der Berührpunkt ist.

Ich habe keine Ableitung gebildet. Ich habe nur nach x aufgelöst und gezeigt das x = 0 eine Doppelte Nullstelle ist. Das ist dann ein Berührpunkt, weil der eine Graph auf der einen Seite des anderen Graphens bleibt. Die Graphen schneiden sich also dort nicht.

Theoretisch langt es noch nicht das die Steigungen gleich sind. Man müsste hier auch noch die hinreichende Bedingung nehmen, dass die Krümmungen unterschiedlich und ungleich null sind.

---

Danke.
Was ich nicht verstehe, wieso ist eine doppelte Nullstelle automatisch ein Berühpunkt?^^

---

mhh also wäre es matheamtisch falsch,w enn ich sagen die zwei Funktionen schneiden sich bei O I O

Weil wie hatten mal,w enn man Funktionsgleichungen glecihstellt, berechent man den Schnttpunkt.

Also man könnte am Anfang annehmen, dass man den Schnittpunkt berechent, da aber eine dopplete Nullstelle vorhanden ist, ist es sofort ein BErührpunkt oder??

---

Wenn du die Funktionen gleichsetzt bekommst du erstmal nur identische Punkte auf beiden Graphen. Ob das ein Schnittpunkt oder Berührpunkt ist weiß man so damit noch nicht.

Hat man allerdings die Nullstelle in einer geraden Vielfachheit, dann ist es ein Berührpunkt. Hat man die Nullstelle in einer ungeraden Vielfachheit ist es ein Schnittpunkt.

Bei einer einfachen Nullstelle also ein Schnittpunkt, bei einer doppelten Nullstelle ein Berührpunkt.

Answer 2

zwei beliebige Kurven der Schar:

f_a(x)= -ax² + 6x  und f_b(x)= -bx² + 6x   (a≠b)

f_a(x) = f_b(x)

⇔  -ax² + 6x =  -bx² + 6x   | - 6x  | • (-1)

⇔  ax²  =  bx²   | - bx²  

⇔  ax² - bx² = 0  

x² ausklammern:

⇔  (a-b) • x² = 0 | : (a-b) ≠ 0

x² = 0  → x = 0   ergibt bei beiden (also allen) Funktionen eingesetzt den Punkt (0|0) als einzigen gemeinsamen Punkt

da es eine doppelte Nullstelle ist, liegt ein Berührpunkt vor

[ dass (0|0) ein allen Scharkurven gemeinsamer Punkt ist, sieht man natürlich auch sofort :-) ]

Gruß Wolfgang

Comments

Ahh okay vielen Dank.

Außerdem wenn man die erste Ableitung jeweis bildet und gleich stellt kommt doch auch 0 raus?...

⇔  (a-b) • x² = 0 | : (a-b) ≠ 0

Hier rechnet man doch; 0/(a-b)=0

---

(a-b) ≠ 0 bedeutet nur, dass man nicht durch Null dividiert.

Rechts  kommt  - wie du sagst -  0/ (a-b) = 0 heraus

---

Okay Danke.

Also gibt es kann man sagen zwei Lösungen oder?

1.)

Zeige, dass alle Graphen der Schar einen Punkt P gemeinsam haben.

Wir bilden die Nullstellen und wissen de ist bei (0I0).

Zeige, dass P ein Berührpunkt der Schar ist.

Dann bilden wir die Ableitung und setzen 0 ein. Danach erhalten wir 6.

--> Die Graphen berühren sich bie 0 I 0 und haben die Steigung 6.

2.)

Zeige, dass alle Graphen der Schar einen Punkt P gemeinsam haben.

WIr setzen die Funktionen gleich:

f_a(x)= -ax² + 6x  und f_b(x)= -bx² + 6x   (a≠b)

Und wissen, dass der Schnittpunkt bei 0 I 0 ist.

Zeige, dass P ein Berührpunkt der Schar ist.

Dann bilden wir die erste ABleitung jeweils und setzen sie gleich, kommt 0 raus wissen wir dass dort der Berührpunkt ist.

-> Die Graphen berühren sich bei 0 I 0 da dort die Funktionswerte und Steigungen gleich sind .

Stimmt das so ?

Answer 3

    Geht mit den Mitteln der Differenzialrechnung. f könntest du erst mal als 3 D Gebirge heraus malen, abhängig so wohl von a als auch x . Jetzt unterstellst du eine ( zunächst beliebige ) implizite Abhängigkeirt x = x ( a ) ; du definierst also einen Pfad durch dieses Gebirge. Jetzt ganz normal ableiten nach a unter Beachtung von Produkt-und Kettenregel:




      ( dy/da )  =  -  x  ²  -  2  a  x  ( dx/da )  +  6  ( dx/da )        (  1  )



      Notwendige Bedingung für Fixpunkt: stationäre Bedingung




       ( dx/da ) =  ( dy/da )  =  0  ===>  x  =  0         (  2  )



    Jetzt kommt die hinreichende Bedingung, die Probe. In deine Ausgangsschar musst du einsetzen x ( a ) = const = 0 und bekommst in der Tat y = 0 unabhängig von a . Und jetzt musst du noch die Ableitung untersuchen;  in x = 0 ergibt sich 6 unabhängig von a . Demnach berühren sich sämtliche Scharkurven.