Komplexe Polynome. Nullstellen. z^4 = -7 + 24i

Question

Kann mir jemand bitte 6b erklären? Nicht die Rechnung, sondern den Gedankengang vom Text.

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Der Text ist leider an meinem Bildschirm sehr unscharf.

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Sorry, wusste ich nicht.

Habs mal abgetippt :

z₀=2+i ist eine Lösung der Gleichung z⁴=-7+24i

Bestimmen sie weitere Lösungen der Gleichung

Mit z0 = 2+i muss nun auch z1 := −z0 = −2−i eine Lösung der Gleichung sein, da z14 = (−1)4z04 =z04 gilt.Analogfindenwirz2 :=i·z0 =−1+2iundz3 :=−i·z0 =1−2i.Insgesamt erhaltenwirdievierLösungenz0 =2+i,z1 =−2−i,z2 =−1+2iundz3 =1−2i. 

Answer 1

Du suchst alle Zahlen, die "hoch 4" die Zahl -7 + 24i geben. Also alle Lösungen von z^4 - (-7 + 24i) = 0. Das sind die Nullstellen von f(z) = z^4 - (-7 + 24i). Weil das Polynom den Grad 4 hat, brauchst du (maximal) 4 Lösungen.

z₀=2+i ist eine Lösung der Gleichung z⁴=-7+24i

Mit z0 = 2+i muss nun auch z1 := −z0 = −2−i eine Lösung der Gleichung sein, da z1^4 = (−1)^4z0^4 =z0^4 gilt.

So weit verstehe ich das, weil Minus1 * Minus1  = Plus1

Analog finden wir z2 :=i·z0 =−1+2i und z3 :=−i·z0 =1−2i.

Grund: i^4 ist 1 und (-i)^4 ist auch 1. 

Insgesamt erhalten wir die vier Lösungen z0 =2+i,z1 =−2−i,z2 =−1+2i und z3 =1−2i. 

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War ja dann doch einfacher als gedacht ^^ Danke :)

Answer 2

Gedankengang? Aus einer Lösung ζ von z⁴ = a folgen die anderen in der Form ζ ε^k, wobei ε eine vierte primitive Einheistwurzel ist. Kannst Du eine vierte primitive Einheitswurzel angeben?