Beschränktheit einer Folge

Question

Hallo :)
Die Aufgabe ist, man soll untersuchen ob die Folgen beschränkt sind. 
1) an = (1-n)/n
2) an = n/(1-3n)
Ich bin schon ewig dabei das Internet zu durchsuchen. Nur leider verstehe ich das alles nicht ganz. Wäre super nett wenn mir das jemand Schritt für Schritt erklären könnte :)

Lg,Maria

Answer 1

Kannst du jeweils die ersten paar Felgeglieder ausrechnen und eine Vermutung anstellen ? Dann prüfst du das Mathematisch

 an = (1 - n) / n 

a1 = ... ; a2 = ... ; a3 = ... ; a4 = ... ; a5 = ...

Grenzwert ausrechnen

lim (n --> ∞) (1 - n) / n 

lim (n --> ∞) (1/n - 1) / 1 = -1

Monotonie bestimmen

 (1 - (n + 1)) / (n + 1) <  (1 - n) / n --> n > 0

Die Folge hat einen Grenzwert und ist streng monoton fallend. Mehr brauchst du nicht. 

Die zweite Folge kannst du dann selber versuchen zu untersuchen.

Comments

Für die Beschränktheit brauchst du sogar nur die Konvergenz, keine Monotonie.

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Bei der zweiten Folge komm ich darauf das die untere Grenze - 1/3 ist. Ich habe den Limes gegen unendlich gehen lassen und da bin ich auf - 1/3 gekommen.

Aber wie rechne ich die Ober Grenze aus?

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Hast du die Ersten Folgeglieder berechnet? Hast du keine eigene Idee

a1 = -0.5

mal sehen

(n + 1)/(1 - 3·(n + 1)) > n/(1 - 3·n) --> n > 1/3

Die Folge ist also streng monoton steigend. Was sagt uns das für die wirkliche obere und untere Grenze ?

Answer 2

Hallo Maria,

a_n = (1-n) / n = 1/n - 1 = -1 + 1/n

da 1/n > 0 ist und den Maximalwert 1 hat

Ist offensichtlich durch -1 nach unten   und durch o nach oben beschränkt

an = n / (1-3n) = -1/3 + 1/3 /(1-3n) ......

Gruß Wolfgang