Wie zeigt man nun die Beschränktheit der Folge?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit

\(\displaystyle a_{n}=\frac{3(-1)^{n} n}{2 n+(-1)^{n}} \)

i) Bestimmen Sie jeweils alle (reellen) Häufungswerte der Folge.

ii) Untersuchen Sie jeweils, ob die Folge nach oben beschränkt ist.

iii) Untersuchen Sie jeweils, ob die Folge nach unten beschränkt ist.

iv) Entscheiden Sie jeweils, ob für die Folge Konvergenz oder Divergenz vorlíegt.

Poblem/Ansatz:

Ich habe die Folge an und muss zeigen ob diese nach oben oder nach unten beschränkt ist. Ich habe schon ausgerechnet, dass die Folge unbestimmt divergent ist und die Häufungswerte 5/4 und -5/4 besitzt. Wie zeige ich nun die Beschränktheit der Folge ?

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\frac{3(-1)^nn}{2n+(-1)^n}=\left\{\begin{array}{rl}\frac{3n}{2n+1} & \text{für gerade \(n\)}\\[1ex]-\frac{3n}{2n-1} & \text{für ungerade \(n\)}\end{array}\right.$$

zu a) Häufungspunkte der Folge:$$a_n=\left\{\begin{array}{rl}\frac{3}{2+\frac1n} & \text{für gerade \(n\)}\\[1ex]-\frac{3}{2-\frac1n} & \text{für ungerade \(n\)}\end{array}\right\}\to\left\{\begin{array}{rl}\frac32 & \text{für gerade \(n\)}\\[1ex]-\frac32 & \text{für ungerade \(n\)}\end{array}\right\}$$Die Folge hat also die beiden Häufungspunkte \((\pm\frac32)\).

zu b) Für die Beschränkung nach oben betrachten wir die positiven Folgenglieder, also die für gerade \(n\):$$a_n=\frac{3n}{2n+1}<\frac{3n+\frac32}{2n+1}=\frac{3(n+\frac12)}{2(n+\frac12)}=\frac32$$Das heißt \((a_n<\frac32)\) für alle \(n\in\mathbb N\).

zu c) Für die Beschränkung nach unten betrachten wir die negativen Folgenglieder, also die für ungerade \(n\):$$3n\ge3\stackrel{(-6n)}{\implies}-3n\ge-6n+3=-3(2n-1)\stackrel{(2n-1>0)}{\implies}\frac{-3n}{2n-1}\ge-3\implies a_n\ge-3$$Das heißt \((a_n\ge-3)\) für alle \(n\in\mathbb N\).

zu d) Da die Folge zwei Häufungspunkte hat, liegt keine Konvergenz vor.

Answer 2

Ich würde mit n kürzen:

-> (3*(-1)^n)) /( 2+ (-1)^n)

= lim = 3/3 = 1 für gerade n

lim = -3/1 = -3 für ungerade n

Comments

Du gibst zwar die Limiten zweier Teilfolgen an,
aber wie schließt du nun auf die Schranken?

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Limiten zweier Teilfolgen

Das sind keine Teilfolgen.

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Ja, das sehe ich ein.

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Ich würde mit n kürzen:

Differenzen und Summen ...

@Milano:

Die Häufungspunkte sind -3/2 und 3/2.

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Brüche kann man mit allem und jedem kürzen.

Was soll der komische Hinweis?

PS:

Ergebnisse ohne Erklärung helfen nicht weiter.

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Brüche kann man mit allem und jedem kürzen.

Hinweis am Rand: Das stimmt nicht ganz, denn mit 0 darf man schon mal nicht....

Aber ansonsten darfst du tatsächlich mit jeder anderen Zahl kürzen.

Allerdings bist du beim Versuch, den Nenner durch n zu teilen, krachend gescheitert.

Damit (und damit, dass du als angeblicher "Monatsbester" solchen Schrott publizierst,) hast du auch den VOLLEN Spruch verdient:

Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.

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Mein Gott! Bloß weil ich bei (-1)^n den Teiler VERGESSEN habe, was offensichtlich ist.

Ihr Kommentar dazu passt genau zu Ihrem Charakter: sehr primitiv und billig.

Was sind Sie bloß für ein gehässiger, dauer-polemischer Typ!

Kein Wunder: Wer im Chat zum Verspotten auffordert, hat gewaltige

Defizite. Um so einer ist auch noch Lehrer! Eine Schande für Ihren Beruf.

Negativ- Pädagogik aus dem frühem Mittelalter, nein der Altsteinzeit.

Sie tun mir echt leid, wenn Sie das nötig haben.

Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.

Wer hat denn da aus einer Summe gekürzt? Brille vergessen?

Sie vlt? Dann sind Sie der Idiot, nicht ich.

Ein Vollschrott-Kommentar eines Zoffsüchtigen.

Sie sind saufrech und ein ganz hinterfotziger Typ.

Moliets kann das bestätigen und manch anderer wohl auch.

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Du widersprichst dir selbst.

Genau weil du "den Teiler vergessen" hast, hast du nur einen Summanden aus einer Summe gekürzt.

Ja, das war sicher eigentlich nur ein Schusselfehler. Und er war so offensichtlich, dass du ihn im Nachgang eigentlich auch selbst bemerken musstest.

Aber wer wie du in solchen Situationen sich nie die Zeit nimmt, über angedeutete Unstimmigkeiten nachzudenken, sondern immer gleich fordernd blafft, dass man das Bemängelte genauestens erläutern solle, muss nicht unbedingt mit Nachsicht rechnen.

Über "Die Häufungspunkte sind -3/2 und 3/2" hast du sicher nicht mal ansatzweise nachgedacht...

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Die Art Ihres Kommentars war unmöglich wie neulich bei Moliets.

UNVERSCHÄMT bis zum Geht-nicht-mehr!

Keiner reagiert wegen so eine Lappalie so über und böswilligst beleidigend.

Im Chat haben Sie sich voll geoutet.

Dass Sie ein gnadenloser Pauker sind, ist nun jedem klar.

Ich schäme mich nochmal für Sie und Ihre herablassende,

primär auf ganz billige Beleidigung abzielende Kommentierungsart.

Sie haben kein Mindestschamgefühl und halten sich hier für den unfehlbaren Superman.

Haben Sie eigentlich noch etwas anderes im Kopf außer

Mathe von 6 Uhr früh bis Mitternacht?

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Ja, deine gewohnten Sprechblasen...

Wie war das aber mit den Häufungspunkten -3/2 und 3/2 ?

Hattest du darüber nachgedacht?

PS: Zieh moliets da nicht mit rein. Der entgleist nicht wie regelmäßig du.

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Ja, deine gewohnten Sprechblasen...

Vollzutreffenden "Sprechblasen."

Das waren Sachargumente.

Ihr comment war eine, eine wirklich hohle und absolut primitive.

So blöd angemacht hat mich bisher noch keiner, nicht mal hj.

PS: Zieh moliets da nicht mit rein. Der entgleist nicht wie regelmäßig du

Das hat schon seinen Grund.

Erst kräftig austeilen, aber selber nichts einstecken können oder

runterspielen wollen.

Sie sollten sich mal fragen, warum ich hier nur mit Ihnen und hj solche

Probleme habe, wobei Sie mittlerweile schlimmer sind aus er,

der auch eine andere Tonart kann, wenn er will.

Moliets ist zu Recht stocksauer auf Sie und hätte Sie abmahnen

lassen sollen.

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Wie war das aber mit den Häufungspunkten -3/2 und 3/2 ?

Hattest du darüber nachgedacht?

Dazu sage ich aus nachvollziehbaren Gründen nicht mehr.

V.a.um eine weitere Eskalation zu vermeiden.

In einem Satz: Mir reicht's!

Ich bin von Ihnen restlos bedient.

Answer 3

Es ist \(a_ n=\frac{3n}{2n+1}\) für gerades \(n\)

und \(a_n=\frac{-3n}{2n-1}\) für ungerades \(n\).

\(a_{2n}\) konvergiert gegen 3/2 und ist als konvergente

Folge beschränkt: \(|a_{2n}| < K_1\) mit einem geeigneten \(K_1 > 0\)

\(a_{2n+1}\) konvergiert gegen -3/2 und ist daher insbesondere

beschränkt: \(|a_{2n+1}| <  K_2\) mit einem geeigneten \(K_2 > 0\).

Für \(K=\max(K_1,K_2)\) gilt dann \(|a_n| < K\) für alle nat. \(n\).