Grenzwerte bestimmen lim(x->0) (√(3x^2 + 1) - 1)/sin^2 x, lim(x->π/2) (2x - π)/ cos x, …

Question

Grenzwerte von Winkelfunktionen

Bestimmen Sie die Grenzwerte der folgenden Funktionen an den bezeichneten Stellen. Verwenden Sie dazu nicht die Regel von Bernoulli-L'Hospital!

$$\begin{array} { l } { \text { a) } \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sqrt { 3 x ^ { 2 } + 1 } - 1 } { \sin ^ { 2 } x } } \\ { \text { b) } \lim _ { x \rightarrow \frac { \pi } { 2 } } \frac { 2 x - \pi } { \cos x } } \\ { \text { c) } \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x \tan x ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } } } \end{array}$$

Comments

Was kennst du denn zu den trigonometrischen Funktionen? Eventuell eine Reihenentwicklung? Oder ein paar einfache Grenzwerte wie

lim(x->0) sinx / x = 1 ?

Answer 1

a) $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3x^2+1}-1}{\sin^2 x}= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{3x^2+1}-1)(\sqrt{3x^2+1}+1)}{(\sqrt{3x^2+1}+1) \sin^2 x}= \lim_{x \to 0} \frac{3x^2+1-1}{(\sqrt{3x^2+1}+1) \sin^2 x}= \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{(\sqrt{3x^2+1}+1) \sin^2 x}= \lim_{x \to 0} \frac{3}{(\sqrt{3x^2+1}+1) \frac{\sin^2 x}{x^2}}= \frac{3}{\lim_{x \to 0} (\sqrt{3x^2+1}+1) \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \right)^2}= \frac{3}{2}$$