Trigonometrische Funktionen. f(t)=sin(2t)-cos(2t) und y(t)=2e^{2t}*cos(3t+π/4). Suche Nullstellen und Extrema.

Question

ich habe Probleme bei Berechnungen von Nullstellen und Extrema von trigonometrischen Funktion.

Mir fehlt oft der richtige Ansatz. Wann benutze ich die Additionstheoreme? Wie forme ich richtig um usw?

Mit folgenden 2 Aufgaben schlage ich mich derzeit rum.

f(t)=sin(2t)-cos(2t)

und

y(t)=2e^{2t}*cos(3t+pi/4)

Von den Funktionen sollen die NS und Extrema berechnet werden.

Über Lösungsansätze und Erklärungen würde ich mich sehr freuen.

 für eure Hilfe.

Comments

  eine kleine Hilfe :

  f(x) = sin(x) - cos(x)

  Nullstelle : sin(x) - cos(x) = 0
  sin(x) = cos(x)
  sin(x) / cos(x) = 1
  sin(x) / cos(x) = tan(x)
  tan(x) = 1

  Extremwerte ( 1.Ableitung = 0 )

  f ´(x) = [ sin(x) - cos(x) ]´
  f ´(x) = cos(x) - ( -sin(x) )
  f ´(x) = sin(x) + cos(x)

  sin(x) + cos(x) = 0
  sin(x) = - cos(x)
  - sin(x) / cos(x) = 1

  tan(x) = -1

  Ich male mir immer die Sin- und cosinus-Funktion in einer kleinen Skizze auf.
Damit habe ich einen besseren Überblick.

  mfg Georg

---

y(t)=2e^2t*cos(3t+pi/4)

Nullstellen hat man nur wenn

cos(3t+pi/4) = 0

Das sollte leicht zu lösen sein.

Extremstellen 

y'(t) = e^{2·t}·(4·COS(3·t + pi/4) - 6·SIN(3·t + pi/4))

4·COS(3·t + pi/4) - 6·SIN(3·t + pi/4) = 0

SIN(3·t + pi/4) / COS(3·t + pi/4) = 4/6

TAN(3·t + pi/4) = 4/6

---

Okay. Ist ja doch gar nicht so schwer.  

Dann hab ich nur noch die Frage: Wann muss ich 2pi*k und wann nur pi*k dazu addieren?

---

Wann muss ich 2pi*k und wann nur pi*k dazu addieren?

Vgl. 'Antwort'.

Answer 1

Offenbar hat sich das mit Hilfe der Kommentare erledigt. Hier nochmals mein Kommentar als Antwort.

Wann muss ich 2pi*k und wann nur pi*k dazu addieren?

Allgemein gilt:

Sin(x) und cos(x) sind 2π-periodisch. Daher +2kπ.

tan(x) ist π-periodisch. Daher +kπ.

sin(2x) und cos(2x) sind π-periodisch. Daher + kπ

cos(3t+pi/4) ist 2π/3 - periodisch. Daher +2kπ/3.

Wie Georgborn erwähnt hat, zeichnest du dir die Kurven am besten auf. Dann vergisst du auch die 'zweiten' Lösungen nicht.

Einführungen zu trigonometrischen Funktionen z.B. hier:

https://www.matheretter.de/wiki/trigonometrie-entstehung

und

https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis