Bruchterm vereinfachen: (4a + 3) / (4a^2 + 7a + 3)

Question

Bruchterm vereinfachen:

\( \frac{4 a+3}{4 a^{2}+7 a+3} \)

Das Ergebnis sollte 1 / (a+1) sein, ich weiss aber nicht wie man darauf kommt.

Answer 1

Ich ermittel die Nullstellen im Nenner

4a^2 + 7a + 3 = 0
a = - 3/4 ∨ a = -1

Damit kann ich den Bruch Faktorisieren zu

(4a + 3) / (4a^2 + 7a + 3)
= (4a + 3) / (4(a + 3/4)(a + 1))
= (4a + 3) / ((4a + 3)(a + 1))

Jetzt kann ich im Zähler und Nenner den Faktor (4a + 3) kürzen.

= 1 / (a + 1)

Fertig.

Answer 2

Die Nennerfaktorisierung sieht man hier
auch ohne den Umweg über die Nullstellen:

(4a + 3) / (4a^2 + 7a + 3)

(4a + 3) / (4a^2 + 4a + 3a + 3)

(4a + 3) / (4a*(a + 1) + 3*(a + 1))

(4a + 3) / (4a + 3)*(a + 1))

1 / (a + 1).