Auf einen Bruchterm vereinfachen so weit wie möglich

Question

Aufgabe:
Schreiben Sie als 1 Bruchterm und vereinfachen Sie so weit wie möglich:

\(-\frac{3}{4 x y}+\frac{12}{9 x^{2}-y^{2}}+\frac{3 y}{3 x-y}=\frac{A}{B} \)

Problem/Ansatz:

Also ich habe jetzt sehr vieles probiert

den Nenner 9x2−y2 des zweiten Bruches als Produkt dargestellt
dritte binomische Formel (a+b)⋅(a−b)=a2−b2 benutzt
Das heißt: 9x2−y2=(3x−y)⋅(3x+y).
Wegen 9x2−y2=(3x−y)⋅(3x+y) ist der dritte Nenner 3x−y bereits im zweiten 9x2−y2 enthalten.

Somit ist der Hauptnenner das Produkt des ersten und des zweiten Nenners: 4xy⋅(9x2−y2). Aber jetzt komme ich nicht nicht mehr weiter bzw ich weiß nicht wie ich das aufschreiben soll

Answer 1

\(\Large\frac{A}{B} =  \frac{36 x^{2} y^{2}-27 x^{2}+12 x y^{3}+48 x y+3 y^{2}}{36 x^{3} y-4 x y^{3}} \)

Answer 2

\(\frac{A}{B}=-\frac{3}{4 x y}+\frac{12}{9 x^{2}-y^{2}}+\frac{3 y}{3 x-y} \)

\(\frac{A}{B}=-\frac{3}{4 x y}+\frac{12}{9 x^{2}-y^{2}}+\frac{3 y*(3x+y)}{(3 x-y)*(3x+y)} \)

\(\frac{A}{B}=-\frac{3}{4 x y}+\frac{12}{9 x^{2}-y^{2}}+\frac{3 y*(3x+y)}{9x^2-y^2} \)

\(\frac{A}{B}=\frac{3y^2+9xy+12}{9x^2-y^2}-\frac{3}{4 x y}\)

\(\frac{A}{B}=\frac{12xy^3+36x^2y^2+48xy-27x^2+3y^2}{36x^3y-4xy^3}\)