Uneigentliche Integrale Grenzwert

Question

Die Schüttung einer Quelle, die zu Beginn 4,0 m³/min beträgt, nimmt etwa exponentiell ab und beträgt nach 20 Tagen 0,5m³/min. Berechnen Sie die Wassermenge, die von der Quelle

a) in 30 Tagen geliefert wird
b) Insgesamt geliefert wird. Bestimmen Sie dazu einen geeigneten Grenzwert.

Also bei b) habe ich überhaupt keinen Plan, aber bei a) fällt mir ein Ansatz ein:

Ich nehme die Exponentialfunktion:f(x)= a•b^t und habe f(0)=4 und f(20)=0,5 und setze ein: 4•b²⁸⁸⁰⁰=0,5
Also weil das in Minuten angegeben ist, habe ich 24 mal 60 und das Produkt anschließend mit 20 multipliziert

Answer 1

f(x) = a·EXP(k·x)

f(0) = 4

f(20) = 0.5

Man löse das Gleichungssystem und erhält: a = 4 ∧ k = -0.1039720770

f(x) = 4·EXP(-0.1040·x)

F(x) = - 38.46·EXP(- 0.104·x)

Ich schreibe das mal nicht mathematisch auf.

F(∞) - F(0) = 0 - (-38.46) = 38.46

Und nun die Frage an dich. Mit was muss ich 38.46 multiplizieren um den Richtigen Wert zu erhalten?

Answer 2

Bei a  berechne das Integral von 0 bis 30 , wenn du das auf die Zeiteinheit

Tage bezogen hast.

Und bei b das Integral von 0 bis z und im Ergebnis

betrachtest du den Grenzwert für z gegen unendlich.

Comments

Ah ok, ich habe 0,9999277998 raus

Answer 3

Hallo Emilka,

der Ansatz für die Funktion ist doch schonmal ganz gut. Berechne also noch \(b\).

30 Tage entsprechen ja 43200 Minuten, damit wäre bei a) also

$$ \int \limits_0^{43200} f(x)dx $$

zu berechnen.

bei b) untersuchst du das unbestimmte Integral $$ \int \limits_0^{\infty} f(x)dx $$

Gruß

Comments

Wie soll ich den b berechnen? Egal welche Zahl ich einsetze, es kommt immer 0 raus.

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Ah ok, ich habe 0,9999277998 raus.

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Ja das passt für \(b\).

Answer 4

Ich nehme die Exponentialfunktion:f(x)= a•b^t und habe
f(0)=4 und f(20)=0,5
und setze ein: 4•b²⁸⁸⁰⁰=0,5
Also weil das in Minuten angegeben ist, habe ich 24 mal 60 und
das Produkt anschließend mit 20 multipliziert

Diese Schlussfolgerung ist falsch.

Die Abflußrate hat die Einheit Kubikmeter pro min = m^3 / min

Die Abflußrate wird wie angegeben als Funktion der Zeit aufgefasst
wobei die Zeit t in Tagen  angegeben ist

t in Tagen
f ( t ) = a  * b^t
f ( 0 ) = a * b^0 = a * 1 = 4  => a = 4
f ( 20 ) = 4 * b^{20} = 0.5

4 * b^{20} = 0.5
b^{20} = 0.5 /4  | ^{1/20} , ln ( ) geht auch
b =  ( 0.5 / 4 )^{1/20}
b = 0.90125

f ( t ) = 4 * 0.90125^t
Die Formel und die Proben stimmen.

f ( t ) ist die Änderungsrate in m^3 / min

a) in 30 Tagen geliefert wird

∫ f ( t ) dt zwischen 0 und 30  durch 30 wäre die mittlere Änderungsrate pro Tag.

Stammfunktion : 4 * 1 / ln(0.90125) * 0.90125^t

zwischen 0 und 30
[ 4 * 1 / ln(0.90125) ] * [ 0.90125^t  ]₀³⁰
-38.4717 * (  0.90125^30 - 0.90125^0 )
36.7715

Mittlere Änderungsrate im Zeitraum 0 bis 30
36.7715 / 30 = 1.2257 m^3 / min

~plot~ 4 * 0.90125^x ; 1.2257 ; [[ 0|30|0|4]] ~plot~

Abfluß
1.2257 m^3 / min * 30 * 24 * 60
52950 m^3

Ich stoppe erst einmal hier.
Bei Bedarf nachfragen. Ich muß auch noch ein bißchen überlegen.

b) Insgesamt geliefert wird. Bestimmen Sie dazu einen
geeigneten Grenzwert.

Comments

Es geht auch einfacher

f ( t ) = 4 * 0.90125^t

Die Formel und die Proben stimmen.

f ( t ) ist die Änderungsrate in m³ / min

Jetzt können wir direkt umrechnen in m^3 / Tag

g ( t ) = f ( t ) * 60 min * 24 h
g ( t ) = 4 * 0.90125^t  * 60 * 24
g ( t ) = 5760 * 0.90125^t

a) in 30 Tagen geliefert wird

∫ g ( t ) dt zwischen 0 und 30