Grenzwert bestimmen. uneigentliche Integrale von f(x) = 1/(1-x)^2 und f(x) = x*ln(x)

Question

Hey:)

Irgendwie komm ich bei diesen Integralen nicht weiter.

Ich dachte, dass ich bei der

i) einfach das Integral aufteile, weil 1 eine kritische Stelle ist und dann integrieren, aber das klappt nicht.

ii) ln 0 existiert ja nicht, deshalb weiß ich nicht, wie ich es machen soll.

Würde mich über euere Hilfe freuen:)

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i) einfach das Integral aufteile, weil 1 eine kritische Stelle ist und dann integrieren, aber das klappt nicht.

Das sollte eigentlich klappen. Kontrolliere deine Rechnung. 

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Stimmt bei der a kommt -2  raus für das Integral. Und wie bestimme ich jetzt hier die Komvergenz und wie ich gehe ich bei der ii vor?

Answer 1

$$ (a)\\\int_{0}^{2}\frac { 1 }{ (1-x)^2 }dx\\=\int_{0}^{1}\frac { 1 }{ (1-x)^2 }dx+\int_{1}^{2}\frac { 1 }{ (1-x)^2 }dx\\=\lim_{a\to1}\int_{0}^{a}\frac { 1 }{ (1-x)^2 }dx+\lim_{b\to1}\int_{b}^{2}\frac { 1 }{ (1-x)^2 }dx\\=-2+\lim_{a\to1}\frac { 1 }{ 1-a }-\lim_{b\to1}\frac { 1 }{ 1-b }\\\text{konvergiert nicht}\\(b)\\\text{Das Integral existiert, da }\lim_{x\to0}x*ln(x)=0\\\text{mit partieller Integration folgt: } \\\int_{0}^{1}xln(x)dx=\lim_{a\to0+}\int_{a}^{1}xln(x)dx\\=\lim_{a\to0+}{ [\frac { x^2 }{ 2 }(ln(x)-1/2)] }_{ a }^1\\=\lim_{a\to0+}-\frac { 1 }{ 4 }-[\frac { a^2 }{ 2 }(ln(a)-1/2)]=-\frac { 1 }{ 4 }$$

Comments

EKann es sein, dass du dich bei den Vorzeichen bei der a getäuscht hast?

Ich hab da nämlich raus:

2+lim a-> 1 (-1/(1-x)) + lim b-> 1 (1/(1-x)