Uneigentliche Integrale Vorgehensweise?

Question

könnte mir jemand die Vorgehensweise bei Uneigentlichen Integralen anhand Aufgabe a) erklären?

Danke

Text erkannt:

Ubung 17 Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale.
a) \( \int \limits_{2}^{\infty} 8 x^{-5} d x \)
b) \( \int \limits_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \)
c) \( \int \frac{1}{(4-x)^{3}} d x \)

Answer 1

Zunächst musst du nachvollziehen, dass \(\int \limits_{2}^{\infty}8x^{-5}\, \mathrm{d}x=\lim\limits_{k\to\infty}\int \limits_{2}^{k}8x^{-5}\, \mathrm{d}x\).

Das Integral \(\int \limits_{2}^{k}8x^{-5}\, \mathrm{d}x\) solltest du lösen können (wenn nicht, melden). Es gilt dann:$$\int \limits_{2}^{\infty}8x^{-5}\, \mathrm{d}x=\lim\limits_{k\to\infty}\int \limits_{2}^{k}8x^{-5}\, \mathrm{d}x=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{8}-\frac{2}{k^4}=\frac{1}{8}$$

https://www.desmos.com/calculator/v6mdd7fagk

Comments

Setzt man also für „unendlich“ immer k ein und löst danach auf?

Danke

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Ja, das ist die sauberste Schreibweise.

Verkürzt würde das auch so gehen:$$\int \limits_{2}^{\infty}8x^{-5}\, \mathrm{d}x=\left[-\frac{2}{x^4}\right]_2^{\infty}=\color{red}{\frac{-2}{\infty}+\frac{2}{2^4}}\color{black}=\frac{1}{8}$$Vorsicht: Der rot-markierte Teil geschieht aber ausschließlich in deinem Kopf und wird nicht notiert. Das ist mathematisch nicht ganz korrekt.

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Danke für die schnelle und einfach zu verstehende Antwort! :)

Answer 2

Aloha :)

$$I_a=\int\limits_2^\infty8x^{-5}dx=\left[\frac{8}{-4}x^{-4}\right]_2^\infty=\lim\limits_{x\to\infty}\left(-\frac{2}{x^4}\right)-\left(-\frac{2}{(-2)^4}\right)=0+\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$$$$I_b=\int\limits_1^\infty\frac{1}{\sqrt x}dx=\int\limits_1^\infty x^{-\frac{1}{2}}dx=\left[\frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}}\right]_1^\infty=\left[2\sqrt x\right]_1^\infty=\lim\limits_{x\to\infty}\left(2\sqrt x\right)-\left(2\sqrt1\right)=\infty$$$$I_c=\int\limits_{-\infty}^0\frac{1}{(4-x)^3}dx=\left[\frac{1}{2(4-x)^2}\right]_{-\infty}^0=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{1}{2\cdot4^2}\right)-\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\frac{1}{2(4-x)^2}\right)=\frac{1}{32}$$