Wie berechnet man den Flächeninhalt einer Kardioide?

Question

Genaue Erklärung -->

Von einer Kardioiden, die in ein kartesisches Koordiantensystem gelegt wurde, kennt man nur den Abstand zwischen ihrem höchsten und ihrem tiefsten Punkt entlang der y - Achse (!!).

Die Kardioide liegt ansonsten ganz normal im Koordinatensystem, also die "Einbuchtung" liegt links oder rechts.

Wie kann man mit diesem Wissen den Flächeninhalt der Kardioiden berechnen ?

Es gilt ja -->

F = 6 * pi * a ^ 2

Wie kommt man auf a, wenn man nur den Abstand zwischen ihrem höchsten und ihrem tiefsten Punkt entlang der y - Achse (!!) kennt ?

Answer 1

y = 2·a·(1 - COS(x))·SIN(x) = 2·a·SIN(x) - 2·a·SIN(x)·COS(x)

y' = - 4·a·COS(x)^2 + 2·a·COS(x) + 2·a = 0

Subst z = COS(x) 

- 4·a·z^2 + 2·a·z + 2·a = 0 --> z = - 1/2 ∨ z = 1

x = 2/3·pi ∨ x = 4/3·pi

y(2/3·pi) = 2·a·SIN(2/3·pi) - 2·a·SIN(2/3·pi)·COS(2/3·pi) = 3/2·√3·a

y(4/3·pi) = 2·a·SIN(4/3·pi) - 2·a·SIN(4/3·pi)·COS(4/3·pi) = - 3/2·√3·a

Höhe in y-Richtung ist also hy = 3·√3·a

Damit kannst du jetzt a bestimmen

a = √3/9·h

Und damit letztendlich auch die Fläche.

Comments

Lesen unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Kardioide

könnte hilfreich sein.

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Ich danke dir vielmals für deine gute Antwort !

Answer 2

meinst du mit entlang der y - Achse (!!) die Schnittpunkte mit der

y_Achse. ?

Wenn die erzeugenden Kreise den Radius a haben, und das Ding liegt

mit der Spitze der "Einbuchtung" im Nullpunkt, dann sind die

Schnittpunkte mit der y-Achse bei (0 ; 2a ) und ( 0 ; -2a ).

Bekommst du leicht raus, wenn du in die Koordinatengleichung x=0

einsetzt. Das gibt drei Lösungen (0;0) ( Das ist die Spitze der Einbuchtung)

und (0 ; 2a ) und ( 0 ; -2a )..

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Danke für deine Antwort !