Beweis, dass x parametrisiert werden kann/Länge von x gleich 16 ist

Question

Sei K1 der Kreis im ℝ² mit dem Mittelpunkt (0,0) und dem Radius 1. Sei K2 der Kreis im ℝ² mit dem Mittelpunkt (2,0) und dem Radius 1. Wir betrachten den Punkt P=(1,0), der auf dem Kreis K2 liegt. Nun rollen wir K2 wir entgegen dem Uhrzeigersinn auf K1 ab. Die Spur des Punktes P bildet eine geschlossene Kurve ϒ. Diese Kurve heißt Kardioide.

a) Beweisen Sie, dass ϒ so parametrisiert werden kann:

ϒ:=[0,2) -> ℝ², ϒ(t)=(2cos(t)-(cos(2t)), 2 sin (t) - sin(2t))

b) Beweisen Sie, dass die Länge von ϒ gleich 16 ist.

Answer 1

Mache Dir zunächst eine Zeichnung:

Der Winkel \(t\) (hellblau) kommt zweimal vor, da der Kreis \(K_2\) sich um den selben Winkel dreht, mit dem er auch über \(K_1\) rollt. Interessant ist auch der Winkel \(\beta\) (gelb), den wir später noch zur Berechnung von \(P(t)\) benötigen. Die grüne Gerade ist eine Parallele zur X-Achse - also gilt:$$\beta = \pi - 2t$$Die Position des Mittelpunktes \(M_2\) von \(K_2\) ist$$M_2(t) = 2\begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} $$da  \(M_2\) einen Kreis vom Radius \(2\) beschreibt. Und \(P(t)\) ist dann$$\begin{aligned} P(t) &= M_2(t) + \begin{pmatrix} \cos(\beta)\\ -\sin(\beta) \end{pmatrix} \\ &= 2\begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \cos(\pi - 2t)\\ -\sin(\pi - 2t) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2\cos(t) - \cos(2t)\\ 2\sin(t) - \sin(2t) \end{pmatrix} \end{aligned}$$

CindyJS zeigt leider die Spur (rot s.o.) von \(P(t)\) nicht. Ebenso fehlen die Markierungen der Winkel \(t\) und \(\beta\). ich stell's hier trotzdem mal rein:

https://jsfiddle.net/L546sw1y/1/

Bewege \(M_2(t)\) mit der Maus ...

zu b) vielleicht morgen mehr ...

Comments

Sogar mit Einbettung von CindyJS, einfach top!