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Wenn ein Kreis K1 K_{1} vom Radius r1 r_{1} außen auf einem Kreis K2 K_{2} vom Radius r2 r_{2} abrollt, beschreibt ein auf dem Kreisumfang von K1 K_{1} fixierter Punkt eine sogenannte Epizykloide.
a) Leiten Sie die Gleichung der Epizykloide für den Fall r1=r2 r_{1}=r_{2} und den Startpunkt x0=(0,0) x_{0}=(0,0) her. Dabei seien die Mittelpunkte von K1 K_{1} und K2 K_{2} anfänglich (r1,0) \left(r_{1}, 0\right) bzw. (r2,0) \left(-r_{2}, 0\right)
b) Fertigen Sie dazu eine Skizze an.


Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

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Leiter hilft mir dieser Beitrag nicht wirklich.

Ich weiß, dass die Parameterdarstellung der gesuchten Epizykloide wie folgt aussieht:

x(ϕ)=2r(1cos(ϕ))cos(ϕ)x(\phi)=2r(1-cos(\phi))cos(\phi)

z(ϕ)=2r(1cos(ϕ))sin(ϕ)z(\phi)=2r(1-cos(\phi))sin(\phi)

Die Skizze ist auch kein Problem.

Einzig die Herleitung der Gleichung bereitet mir noch Probleme.

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Hallo,

Einzig die Herleitung der Gleichung bereitet mir noch Probleme.

schau Dir dazu folgende Zeichnung an:

blob.png

Der Kreis mit dem Mittelpunkt M1M_1 rollt auf dem Kreis links mit festem Mittelpunkt bei M2M_2 ab. Der Ursprung O=(0,0)O= (0,0) ist der grüne Punkt im Schnittpunkt der Koordinatenachsen (schwarz). Beide Kreise haben den Radius rr - im Bild ist r=1r=1. Beachte bitte, dass das Viereck M2OPM1M_2OPM_1 ein Trapez ist, daher ist XOP=ϕ=XM2M1\angle XOP = \phi= \angle XM_2M_1. Jeder blau markierte Winkel im Bild ist ϕ\phi.

Für die X-Koordinate ergibt sich:x=OX=ORXR=M2RrXR=2rcos(ϕ)rrcos(2ϕ)=2r(cos(ϕ)12(1+cos(2ϕ)))=2r(cos(ϕ)cos2(ϕ))=2r(1cos(ϕ))cos(ϕ)\begin{aligned} x &= |OX| \\&= |OR| - |XR| \\&= |M_2R| - r - |XR| \\ &= 2r \cos(\phi) - r - r \cos(2\phi) \\&= 2r\left( \cos(\phi) - \frac 12(1+\cos(2\phi))\right) \\&= 2r\left( \cos(\phi) - \cos^2(\phi)\right) \\&= 2r\left( 1 - \cos(\phi)\right)\cos(\phi)\end{aligned}und für die Y-Koordinate gilty=XP=RM1PX=2rsin(ϕ)rsin(2ϕ)=2rsin(ϕ)2rcos(ϕ)sin(ϕ)=2r(1cos(ϕ))sin(ϕ)\begin{aligned}y &= |XP|\\ &= |RM_1| - |PX'| \\&= 2r\sin(\phi) - r \sin(2 \phi) \\&= 2r\sin(\phi) - 2r \cos(\phi)\sin( \phi) \\&= 2r(1-\cos(\phi))\sin(\phi) \end{aligned}Bei der Umwandlung habe ich von zwei Doppelwinkelfunktionen Gebrauch gemacht (siehe hier).

Falls irgendwas unklar ist, frage bitte nach.

Gruß Werner

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