Question

gleichung eines Kreises aufstellen

Wie ist a zu wählen, damit die gerade G: -2x+y=a Tangente des Kreises mit den Mittelpunkt M=(-1|8)und dem         Radius r= 2*sqrt(5)?

Answer 1

gleichung eines Kreises aufstellen:

Wie ist a zu wählen, damit die gerade G: -2x+y=a Tangente des Kreises mit den Mittelpunkt M=(-1|8)und dem         Radius r= 2*sqrt(5)?

Hier ist mal die Kreisgleichung: 

r^2 = (x+1)^2 + (y-8)^2 

4*5 =  (x+1)^2 + (y-8)^2 

20 =  (x+1)^2 + (y-8)^2 

Wie ist a zu wählen, damit die gerade G: -2x+y=a Tangente des Kreises mit den Mittelpunkt M=(-1|8)und dem         Radius r= 2*sqrt(5)?

Normalenvektor auf G: n = (-2, 1) .

n hat die gleiche Richtung, wie der Radius, der von M aus zum Berührungspunkt der Tangente zeigt. 

Zeichne und überlege bitte selber weiter. 

n = (-2, 1), |n| = √(4+1) = √5 ist also halb so lang wie der Radius.

Um die Berührpunkte der beiden Tangenten kannst du rechnen.

OB1 = OM + 2n

OB2 = OM - 2n

Wie ist a zu wählen, damit die gerade G: -2x+y=a Tangente des Kreises mit den Mittelpunkt M=(-1|8)und dem         Radius r= 2*sqrt(5)?

OB1 = (-1 | 8) + 2(-2 | 1) = (-1-4 | 8+2) = (-5| 10) 

B1(-5|10) in G einsetzen: -2*(-5) + 10 = a = 10 + 10 = 20.

OB2 = (-1 | 8) - 2(-2 | 1) = (-1+4 | 8-2) = (3| 6) 

B1(3|6) in G einsetzen: -2*3 + 6 = a = -6 + 6 = 0.

ohne Gewähr! Selbst nachrechnen und deine Rechnung im Koordinatensystem kontrollieren.

Answer 2

Es gibt zwei Lösugen. Eine Tangente berührt den oberen Halbkreis und eine den unteren. Eine Lösung kann man finden, indem man die Gleichung des oberen Halbkreises bildet und die Ableitung gleich 2 setzt. Dann erhält man x= - 5. Der zugehörige Punkt auf dem Halbkreis ist (-5;10). Dieser Punkt wird für a=20 durchlaufen.

Das Ganze mit dem unteren Halbkreis wiederholen.