Gleichung einer Epizykloide

Question

Wenn ein Kreis \( K_{1} \) vom Radius \( r_{1} \) außen auf einem Kreis \( K_{2} \) vom Radius \( r_{2} \) abrollt, beschreibt ein auf dem Kreisumfang von \( K_{1} \) fixierter Punkt eine sogenannte Epizykloide.
a) Leiten Sie die Gleichung der Epizykloide für den Fall \( r_{1}=r_{2} \) und den Startpunkt \( x_{0}=(0,0) \) her. Dabei seien die Mittelpunkte von \( K_{1} \) und \( K_{2} \) anfänglich \( \left(r_{1}, 0\right) \) bzw. \( \left(-r_{2}, 0\right) \)
b) Fertigen Sie dazu eine Skizze an.

Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Comments

dieser Beitrag könnte hilfreich sein.

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Leiter hilft mir dieser Beitrag nicht wirklich.

Ich weiß, dass die Parameterdarstellung der gesuchten Epizykloide wie folgt aussieht:

$$x(\phi)=2r(1-cos(\phi))cos(\phi)$$

$$z(\phi)=2r(1-cos(\phi))sin(\phi)$$

Die Skizze ist auch kein Problem.

Einzig die Herleitung der Gleichung bereitet mir noch Probleme.

Answer 1

Hallo,

Einzig die Herleitung der Gleichung bereitet mir noch Probleme.

schau Dir dazu folgende Zeichnung an:

Der Kreis mit dem Mittelpunkt \(M_1\) rollt auf dem Kreis links mit festem Mittelpunkt bei \(M_2\) ab. Der Ursprung \(O= (0,0)\) ist der grüne Punkt im Schnittpunkt der Koordinatenachsen (schwarz). Beide Kreise haben den Radius \(r\) - im Bild ist \(r=1\). Beachte bitte, dass das Viereck \(M_2OPM_1\) ein Trapez ist, daher ist \(\angle XOP = \phi= \angle XM_2M_1\). Jeder blau markierte Winkel im Bild ist \(\phi\).

Für die X-Koordinate ergibt sich:$$\begin{aligned} x &= |OX| \\&= |OR| - |XR| \\&=  |M_2R| - r - |XR|  \\ &=  2r \cos(\phi) - r - r \cos(2\phi) \\&= 2r\left( \cos(\phi)  - \frac 12(1+\cos(2\phi))\right)  \\&= 2r\left( \cos(\phi) - \cos^2(\phi)\right) \\&= 2r\left( 1 - \cos(\phi)\right)\cos(\phi)\end{aligned}$$und für die Y-Koordinate gilt$$\begin{aligned}y &= |XP|\\ &= |RM_1| - |PX'| \\&= 2r\sin(\phi) - r \sin(2 \phi) \\&=  2r\sin(\phi) - 2r \cos(\phi)\sin( \phi) \\&= 2r(1-\cos(\phi))\sin(\phi) \end{aligned}$$Bei der Umwandlung habe ich von zwei Doppelwinkelfunktionen Gebrauch gemacht (siehe hier).

Falls irgendwas unklar ist, frage bitte nach.

Gruß Werner