Beispiel 1 ; du hast leider keine Nummern. Hier werden elementar geometrische Kenntnisse voraus gesetzt.
1/2 = sin ? = sin ( 30 ° ) ( Imagteil ist ja Sinus )
1/2 sqr ( 3 ) = cos? = cos ( 30 ° ) ( Realteil ist Kosinus )
aus den Vorzeichen bitte noch den Quadranten ableiten; z wurde ja an der Imag Achse gespiegelt ===> 2. Quadrant. Das gibt also ( 180 - 30 ) = 150 °
Jetzt kommt diese lästige Rechnerei mit dem Pi . 180 ° = Pi
150 = 5/6 * 180 = 5/6 Pi ( 1a )
z = exp ( 5/6 Pi i ) ( 1b )
z ^ 4 = exp ( 5 * 4/6 Pi i ) = exp ( 5 * 2/3 Pi i ) = exp ( 10/3 Pi i ) = ( 1c )
= exp ( 9/3 Pi i ) exp ( 1/3 Pi i ) = exp ( 3 Pi i ) exp ( 1/3 Pi i ) = ( 1d )
= - exp ( 1/3 Pi i ) ( 1e )
Klar, was in ( 1d ) geschieht? Mit 10/3 Pi kommen wir deutlich auf " mehrere Pi " Du musst immer rechnen mod Pi und bedenken, dass ein ungerades Vielfaches von Pi = 180 ° , was sich dann in einem Minuszeichen vor dem Vektor äußert.
Du siehst den Vorteil der Polardarstellung; stell dir mal vor, du müsstest ein Binom " hoch 4 " auflösen mit sämtlichen Binominalkoeffizienten. Jetzt müssen wir den Winkel wieder wandeln. 1/3 Pi sind 60 ° .
cos ( 60 ° ) = 1/2 ( 2a )
sin ( 60 ° ) = 1/2 sqr ( 3 ) ( 2b )
z ^ 4 = - 1/2 [ 1 + i sqr ( 3 ) ] ( 2c )
( Wolfram gibt mir Recht; dieses Werkzeug solltet ihr viel mehr nutzen. Wie üblich ist aber seine Darstellung alles andere als erhellend. )
