ich sitze an einer Aufgabe bezüglich des Banach'schen Fixpunktsatzes (im Eindimensionalen). Dabei muss ich ja die Kontraktion nachweisen, indem ich ein Lambda < 1 finde, sodass der Betrag der ersten Ableitung immer kleiner gleich Lambda ist.
Dazu muss die folgende Ableitung abgeschätzt werden:
$$ |f'(x)|=|\frac { 1 }{ 3 } { e }^{ -x }cos(x)[-2sin(x)-cos(x)]| $$
Die Sinus und Cos Terme werden ja simpel als 1 abgeschätzt, allerdings schätzt die Musterlösung das exp(-x) als 1/e ab, das verstehe ich nicht ganz. mein x ist auf ℝ≥0 definiert, also ist doch auch ein exp(-0)=exp(0)=1 möglich oder sehe ich das falsch? Wenn ich das exp(-x) aber als 1 abschätze bekomme ich für meine Abschätzung leider keine Kontraktion was im Zuge der Aufgabe keinen sinn macht.
