Wie lautet das Zerfallsgesetz, wenn t in 1000 Jahren gemessen wird.

Question

So steht es in unserem Buch: 

Die Halbwertszeit eines radioaktiven Stoffes beträgt 30000 Jahre. Wie lautet das Zerfallsgesetz K(t)=K₀*a^t für den Stoff, wenn t in 1000 Jahren gemessen wird.

Answer 1

Hi,
wenn \( t \) in 1000 Jahren gemessen wird, ist nach \( t = 30 \) nur noch \( \frac{K_0}{2} \) der Strahlung vorhanden.
Also gilt $$ K_0 \cdot a^{30} = \frac{K_0}{2}  $$
Durch logarithmieren erhält man $$ a = e^{-\frac{\ln(2)}{30}} $$
Das Bildungsgesetz lautet also $$ K(t) = K_0 \cdot \left( e^{-\frac{\ln(2)}{30}} \right)^t  $$

Comments

Hi,
wie man noch durch logarithmieren der nachfolgenden Gleichung leicht nachweisen kann, gilt
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}} = \left( e^{-\frac{ln(2)}{30}} \right)^t $$

Answer 2

Vielleicht etwas ausführlicher ( für den Fragesteller )

K ( t ) = K0 * 0.5^x
K ( 30 ) = K0 * 0.5¹
1 = ( 1 / 30 ) * 30
x = 1/ 30 * t

K ( t ) = K0 * 0.5^1/30*t

Erstmal vielen Dank, aber wie kommt man auf die 0,5? Und die dritte und vierte Zeile.

Ich stelle diese eigene Antwort ein.

Beim Zerfall eines radioaktiven Stoffes handelt es sich um eine Exponentialfunktion.
Die Basis für Exponentialfunktionen kann beliebig gewählt.

Bei einer Halbwertzeit kann aus praktischen Gründen z.B. als Basis
1/2 oder 0.5 gewählt werden denn

Ausgangsmenge * 1/2^1 = ergibt sofort die Hälfte der Menge
Ausgangsmenge * 1/2^2 = 1/4 der Menge
usw.

K ( t ) : t soll in 1000 Jahren eingesetzt werden : 30000 Jahre = 30

30 entspricht einem Exponenten von 1. Es muß nur noch einmal
umgerechnet werden.

t / 30 wäre der Umrechnungsterm denn
t = 30 wird 30 / 30 wird zu 1
t = 60 wird  60 / 30 = 2
usw

K ( t ) = K0 * 0.5^{t/30}

(  K0 ist die Anfangsmenge bei t = 0 denn  K ( 0 ) = K0 * 0.5^0 = K0 * 1 = K0 )

Rechenbeispiel
Welche Menge ist nach 40 Jahren vorhanden ? Absolut und in %
Ausgangsmenge = 2 kg
K ( 40 ) = 2 * 0.5^{40/30} = 2 * 0.3969
K ( 40 ) = 0.794 kg
in Prozent
39.69 %

Nachtrag : es wurde nach etwas anderem gefragt. Bestimmt werden sollte

K ( t ) = K0 * a^t

Umwandlung einer Exponentialfunktion von der Basis 0.5 zur Basis a
0.5^{t/30} = a^t  | ln ( )
t/30 * ln(0.5) = t * ln ( a )  | : t
ln ( a ) =  1/30 * ln(0.5)
ln ( a ) = 30 * ln ( 0.5)
ln ( a ) = -0.0231  | e hoch
a = e^{-0.0231}
a = 0.9772

K ( t ) =  K0 * 0.9772^t
Probe
K ( 40 ) = 2 * 0.9772^40 = 2 * 0.3975
( kleiner Rundungsfehler )

Comments

Die Umwandlung in eine andere Basis geht auch einfacher

0.5^t/30
 ist
0.5^{1/30} hoch t
0.9772^t

---

Es wird insgesamt noch einfacher

K ( t ) =  K0 * a^t

K0 : Anfangsmenge
K ( t ) : die Menge nach t ( t in 1000 Jahren  )
K ( t ) / K0 = 0.5 mit t = 30 , nur noch die Hälfte

K ( 30 ) / K0 = 0.5 =  a^30
a^30 = 0.5
a = 0.5^{1/30};
a = 0.9772

Answer 3

K(t) = KO*0,5^{t/30}

Comments

In der Kürze liegt die Würze.

Vielleicht etwas ausführlicher ( für den Fragesteller )

K ( t ) = K0 * 0.5^x

K ( 30 ) = K0 * 0.5^1

1 = ( 1 / 30 ) * 30
x = 1/ 30 * t

K ( t ) = K0 * 0.5^{1/30*t}

---

Erstmal vielen Dank, aber wie kommt man auf die 0,5? Und die dritte und vierte Zeile.