Beweis (Die Wurzel aus 2 ist irrational):

Question

A: "x ist die positive Lösung der Gleichung x² = 2"
B: "Es gibt keine Zahlen a,b ∈ ℤ mit x = a/b

Voraussetzung: Es gelte x² = 2 und x = a/b sei rational.
Behauptung: Die Wurzel aus Zwei ist keine rationale Zahl.

Beweis per Widerspruch (Annahme: (A ∧ ¬B) ist wahr):

Es sei x = a/b, dies ist äquivalent zu x² = p²/q². Wir wissen, x² = 2, also folgt nun 2 = p²/q² und somit 2q² = p². Folglich muss p² eine gerade Zahl sein, denn das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade. Somit muss p auch eine gerade Zahl sein. Sei nun p = 2r, also p² = (2r)² = 4r².

Andererseits ist aber p² = 2q². Damit ist 4r² = 2q² äquivalent zu 2r² = q² und somit ist auch q gerade. Wenn p und q aber beide gerade sind, ist x = p/q keine teilerfremde (Wenn nur 1 beide Zahlen teilt) Darstellung. Widerspruch zur Annahme.

q.e.d.

Ist mein Beweis korrekt bzw. vollständig?

LG MS15

Comments

Dieses Problem findest du vielfach im Netz. google ist dein Freund. :))

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Auch die Rubrik "ähnliche Fragen" könnte als Inspiration genutzt werden.

Für die aktuelle Aufgabe oder  wenn's darum geht, zu schauen, was denn als ähnliche Aufgabe an einer Klausur vorkommen könnte. 

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Siehe hier: G21: Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen (Video)

Und hier: Warum ist Wurzel 2 irrational?

Answer 1

>  Es sei x = a/b, dies ist äquivalent zu x² = p²/q².

dein Beweis macht Sinn, wenn du hier klarstellst, dass p/q der vollständig gekürzte Bruch a/b ist.

Gruß Wolfgang

Answer 2

   VERGISS DIESEN BEWEIS . Ich kenne ja selbst diesen Schock; auch ich schüttelte ungläubig das Haupt, als ich in deinem Alter im Telekolleg erstmals von irrationalen Zahlen hörte ( welche ===> dicht in |Q liegen. )
   Aber wir leben schon lange nicht mehr als Jäger und Sammler in der Steinzeit, als sich die matematischen Kenntnisse darin erschöpften, Barcodes in Knochen zu ritzen. Es ist nicht wesentlich, dass du einen Faustkeil herstellen kannst. Sondern wir leben im Zeitalter der Mikrochips und Mondraketen. Etwas Analoges sollte auch in der Matematik obwalten. Deine Herren A und B sind Ignoranten; frei nach Sokrates
    " wissen sie gar nicht, was sie nicht wissen " . Schau mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

  Der Satz von der rationalen Nullstelle. ( SRN )  Naa; hast du dich von deinem " zweiten Schock " erholt?
   Ich erhielt übrigens mal einen höhnischen Kommentar

   " Der Beweis des SRN ist der Art trivial. Die ===> Fieldsmedaille gibt's bestimmt nicht dafür. "
   
     Merkst du eigentlich, dass der SRN die ganze Beweislast umkehrt? DU führst eine ganz SPEZIELLE Annahme über die Bruchdarstellung einer Wurzel zum WIDERSPRUCH .
   Dagegen der SRN macht eine ALLGEMEINE , praktisch hoch bedeutsame Aussage über die Teiler der rationalen Wurzeln SÄMTLICHER Polynome. Mit wesentlich weniger Kraftaufwand kriegst du mehr Inhalt.
   Junge; du lebst in einer hoch aufregenden Zeit. Wikis Behauptung, der SRN gehe auf Gauß zurück, stellt nämlich eine dreiste Fälschung dar.

    1) Gauß ist doch Kult; warum hat dann dein Lehrer noch nie vom SRN vernommen? Würde er es kennen, würde er dir nicht diesen Stuss beibringen, den ich da oben lese.
   Jetzt tu mir die Liebe und geh zu dem Schrat und kläre ihn auf. Ich weiß; ihr alle seid euch zu fein dazu. Und die Lehrer unter den Usern verschweigen es umgekehrt ihren Schülern.
   Mir fehlen die Worte; mit welchem Adjektiv bezeichnet man dieses ignorante Verhalten? Mir fällt keines ein.
   2) Wiki vermag kein Zitat vor 2006 zu benennen. Soll ich dir unter Brüdern mal was verraten? 2006 ist das Jahr der Entdeckung; und der Entdecker aus dem Internet ist so anonym wie Umberto Ecos mittelalterliche Dombaumeister.
   Was du als Schüler noch nicht wissen kannst. Als seriöse Literatur in Algebra ist alleine Artin und v.d. Waerden ( 1930 ) anerkannt. Hier ist doch ganz einfach; der Klassensprecher leiht sich den Artin aus und sein Stellvertreter den v.d. Waerden. Dann soll euer Lehrer suchen, ob der in diesen Klassikern auch nur ein Sterbenswörtchen vom SRN findet ( Der hat ja immerhin studiert; historisch-kritisch kann der mit diesen Texten ganz anders umgehen als ihr. )
   3) Gauß ist ja kein kleiner Dummerli. Wäre er der Entdecker des SRN , so hätte der auch kapiert ( so wie du und jeder andere auch ) dass aus dem SRN die triviale Alternative folgt:

     " Lässt sich die k-te Wurzel aus n nicht ganzzahlig ausziehen ( ' geht sie nicht auf ' ) so IST SIE BEREITS IRRATIONAL . "

   Von ===> Emmy Noether, ohne die der moderne Matematikunterricht nie geworden wäre, was er heute ist, stammt der Spruch

   " Ein guter matematischer Beweis muss aufgebaut sein aus lauter Trivialitäten. Und das Gebäude der Matematik verhält sich zu den Trivialitäten wie die Legosteine, aus denen es besteht. Und wer diese Legosteine nicht sieht, sondern nur die Fundamente und diese wunderbaren Erker. Der mag sich fragen; wie um alles in der Welt kamen die da hinauf? "

   Wir haben hier nämlich genau die selbe Situation wie bei den ganzen Rembrandtfälschern, die sich dann hinterher " als " rausreden
 
   " Zu Rembrandts Zeiten war diese Technik noch nicht bekannt, sagen Sie? Ja dann ist der von mir entdeckte Rembrandt erst recht eine Sensation; der erste Rembrandt, der eindeutig beweist, dass Rembrandt diese Technik eben doch gekannt haben muss . . . "

   Ganz einfach. Machen wir die Worst-Case Annahme, Gauß habe tatsächlich nicht geschnallt, dass dieser SRN für alle Wurzeln den totalen Rundumschlag bedeutet. Allein zu unterstellen, in den seit Gauß verflossenen 200 Jahren sei dieser Kronleuchter niemandem aufgegangen, ist VOLLKOMMEN ABWEGIG .
  Will sagen: Dass dein Beweis heute noch gelehrt wird, beweist, dass der SRN gefunden wurde ZU DEINEN LEBZEITEN .
  4) Ein weiterer Punkt - wie ich zum Experten für Fälschungen wurde. Sowas wie Detektiv strebst du ja nicht als Berufswunsch an. Sondern du merkst eben eines Tages, dass du sehr viel Kenntnisse und Erfahrungen angehäuft hast.
   Z.B. kriegst du in den Vorlesungen an der Uni beigebracht, warum alle ernst zu nehmenden Lehrbücher so aufgebaut sind, wie sie es nun mal sind ( Bücher für Schüler sind dagegen alles andere als seriös. )
   Dazu gehört z.B. dass du quasi " in voraus eilendem Gehorsam " deine Fragen in genau der selben REIHENFOLGE stellen lernst, wie sie das Lehrbuch auch BEANTWORTET . Und von Daher hat mich Wiki als matematisches Nachschlagewerk immer überzeugt; da konnte ich wirklich das Vertrauen haben, Wikis Abhandlungen sind von Fachgelehrten formuliert und haben Niveau.
   Nicht so unter dem Stichwort SRN . Dieser Artikel ist von jemandem verfasst, der ab-so-lut keine Ahnung hat. Ein  Profi wie ich merkt das nämlich sofort. Folgendes Beispiel; kannst du schon meinem Gedanken folgen?
   Die Aussage des SRN hat doch nur Sinn für ===> primitive Polynome ( primitiv = ganzzahlig gekürzt )
    Wenn du etwa das Polynom betrachtest

           x  ²  -  2  =  0  |  *  4 711        (  1  )

     Das ist primitiv. aber was würdest du davon halten, wenn ich jetzt schreibe

         4 711 x  ²  -  9  422  =  0       (  2  )


         Es ist doch sofort klar, dass  " 4711_tel " niemals Lösung von ( 2 ) sein können. Siehst du; und ein Profi denkt eben an alles.
   Genau so, wenn ich ( 1 ) durch 4 711 teile; der Verfasser betrachtet ausdrücklich GEBROCHENE Poynome.

     1/4 711  x ²  -  2/4 711  =  0     (  3  )


    Verstehst du; wäre das ein Prof oder Student. Der hätte längst kapiert, dass wir hier über nix außer primitiven Polynomen reden; über gebrochene Koeffizienten brauchte der kein Wort mehr verlieren.
  Was will ich damit sagen? Ginge dieses famose Teorem auf Opa Gauß selig zurück, so hätten alle Profs und Kapazitäten 200 Jahre Zeit gehabt, es so lange abzuklopfen, bis eine absolut Wasser dichte Formulierung in die Lehrbücher kommt. Solche Pannen könnten dann unmöglich passieren; in anderen Fällen ünernimmt der Wikimensch ja nur die Rolle des Kompilators oder Chefredakteurs, der die Quellenlage kritisch beurteilen kann und dann auch das Recht hat, hier und da einen persönlichen Akzent einfließen zu lassen.

   Also:

   " Definition: Ein Polynom, dessen primitive Form mit seiner ===> Normalform überein stimmt, heißt normiert.

    " ===> Korollar zum SRN : Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben. "

    SO müsste das in Wiki stehen, wenn das ein " Matematiker vom Amt " verfasst hätte . . .

    WARUM steht das nicht so da? Der Entdecker des SRN ist das typische " Genie " aus dem Kitschroman, der keine richtige Ausbildung genossen hat, aber klüger ist als alle Professoren. Übrigens; ich selbst erfuhr dann erst 2011 davon. Wenn man bedenkt, dass ich in den fünf Jahren der Erste bin, der diesen genialen Fund jetzt " hoch offiziell korrekt " aufarbeitet - bin ich doch ein ganz ein toller Hecht . .  .
   ( max Zeichen )

Comments

Dass die irrationalen Zahlen in \(\mathbb Q\) liegen sollen, ist in der Tat schockierend. 

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  Ich habe gesagt, die irrationalen Zahlen liegen DICHT in |Q ; steht übrigens überail. Das heißt nicht, dass irrationale Zahlen Elemente von |Q sind. Es heißt nur,  sämtliche Elemente von |Q sind Häufungspunkte der irrationalen Zahlen.
   Häufungspunkt - ich erkläre das immer gerne mit dem Auspieksen. Die Definition des Häufungspunkts ist gerade so geschickt gewählt, dass es nicht darauf ankommt, ob er zur Menge gehört oder nicht.

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Wer hat dir denn sowas erzählt?

Die übliche Definition ist folgende: Sei \((X,\tau)\) ein topologischer Raum und \(M\subseteq X\). Dann heißt \(M\) dicht in \(X\), falls \(\overline M=X\).

Oder hast du irgendeine ernstzunehmende Quelle für deine Aussagen? Dieses "steht übrigens überall" ist einfach falsch.

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  Ich war immer Topologie begeistert. Leider bin ich auf diesem Gebiet nur Laie. Ich kennr deine Definition. Aber ist die wirklich so toll?
   Das Gegentum vom Häufungspunkt ist der diskrete Punkt. Nach deiner Definition, die - ich gebe es ja zu - die allgemein anerkannte ist, würde jede diskrete Menge dicht liegen in sich selbst.
   Also frage ich dich als Fachmann: Eine Definition muss irgendwo " Sinn voll " sein. Ich meine das folgender Maßen.
   Wenn ich definiere, eine Zahl heißt schön, wenn sie teilbar ist durch 4 711 oder durch 123 456 , dann wird mir wahrscheinlich jeder Matheprof mit natürlicher Logik kommen.

   " Das können Sie so machen, Hr. Doktor, wenn Sie plausibel machen können, dass " schön " eine aufregende Eigenschaft ist, die geeignet ist, eine Teorie zu begründen. "

  In diesem Sinne; ich lasse mich ja gerne belehren. Welchen tieferen Sinn hat diese Definition von Dicht? Z.B brauche ich in deiner Definition wirklich, dass X der ganze Abschluss ist und nicht nur ein Teil?

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Zu deinem letzten Satz: Ich weiß nicht, ob ich richtig verstehe, was du meinst. Meinst du damit \(\overline{M}\supseteq X\)?
(Dass \(\overline M\subseteq X\) ist klar; der Abschluss kann ja nicht mehr sein, als der gesamte topologische Raum.)

In metrischen Räumen \(X\) (also auch in Banachräumen/Hilberträumen) bedeutet Dichtheit einer Teilmenge \(M\), dass jedes Element aus \(X\) beliebig genau durch Elemente aus \(M\) approximiert werden kann. Oder anders gesagt: Für jedes Element \(x\in X\) gibt es eine Folge in \(M\), die gegen \(x\) konvergiert.

Z.B. kann man stetige Funktionen beliebig genau durch differenzierbare Funktionen approximieren; die Menge der differenzierbaren Funktionen \(\mathcal C^1(\mathbb R, \mathbb R)\) liegt dicht in der Menge der stetigen Funktionen \(\mathcal C(\mathbb R, \mathbb R)\) (z.B. bzgl. der Supremumsnorm).
Und diese Tatsache wird oft in Beweisen benutzt (z.B. im Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes; jedenfalls in dem, den ich kenne): Man zeigt eine Aussage zuerst für differenzierbare Funktionen, und dann für stetige Funktionen, indem man die stetige Funktion durch differenzierbare Funktionen approximiert und schaut, ob sich die Aussage irgendwie auf die stetige Funktion überträgt.

In diesem Sinn würde ich schon sagen, dass diese Definition von "dicht" Sinn macht.

Deine obige Aussage "Die irrationalen Zahlen liegen dicht in den rationalen Zahlen" macht ja nur Sinn, weil man noch einen "übergeordneten Raum" (nämlich \(\mathbb R\)) hat.

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    Meine Maus stürzt jetzt öfters ab; hoffentlich ist er kompatibel zu den Absätzen meiner Word Sicherungskopie.

Bitte melde dich, wenn ich was Falsches sage.

Irgendwie guckt mich das schon komisch an. Auch die irrationalen Zahlen ( Welchen Buchstaben hat diese Menge? ) liegen ja dicht in |R ===> Ich kann jede rationale Zahl nähern durch eine Folge irrationaler Zahlen. Anschaulich wäre doch, dass sich die " Dichtigkeit " einer Menge auf jede ihrer Teilmengen vererbt.

   Mal eine intime Frage; C0 ist die Menge aller stetigen, C1 aller diffbaren Funktionen. Und wie heißen die analytischen Funktionen? Hab ich rein zufällig vergessen wie so Vieles.

   In Frankfurt wurden wir ja förmlich überfüttert mit dem Hilbertraum L ² Und da kriegt man eben immer gesagt, die stetigen Funktionen sind genau so wenig vollständig wie |Q ; ihr Abschluss sei L ² . So steht das in allen Büchern. Aber so Knaben wie dich schätze ich; niemand hat mir je offenbart, dass C0 der Abschluss von C1 ist. Obwohl – gerade über Differenzialgeometrie, insonderheit Riemannsche Geometrie, hab ich mich systematisch schlau gemacht einfach durch mein Interesse an der ART .

   Und da werde ich mich erkenntlich zeigen. Kennst du ===> Edward Nelson und seine ( NSA ; IST ) ? NSA steht für " Nonstandard Analysis " ; und " IST " ist das Akronym seiner drei Axiome

   I(dealisierung)
   S(tandardisierung)
   T(ransfer)

   Meines Wissens gibt es nur ein Lehrbuch; Alain Robert bei Wiley ( gibt es bei Amazon; mit vielen witzigen Karikaturen )
   Schon in seinem Paper weist Nelson darauf hin, selbst die genialsten Matematiker stellen sich zu dem " S " ; der Standardisierung, so wie kleine Kinder, die mühsam ihre Muttersprache stammeln - mit vielen grammatischen und logischen Fehlern ... Das Nelsonpaper ist die einzige mir bekannte matematische Fachveröffentlichung, wo dir an Hand von Beispielen erklärt wird, welche Trugschlüsse besser zu meiden seien . . .
    Gert Faltings in seiner coolen Art ( Du kannst jeder Zeit mit ihm telefonieren )  beschied mich ja, ER habe noch nie gehört von Nelson.

   „ Es reicht doch voll auf, wenn Sie ihn kennen . . . „

  Weshalb ich es erwähne. Wo der L ² haust, ist ja die Deltafunktion nicht weit - Interesse? Es ist ja einer
von Diracs netten Aphorismen; Dirac über die Widersprüche hinter seiner Deltafunktion

   " Ich kriege nur richtige Ergebnisse raus . . . "

   Was dich neugierig machen sollte. Nelson ist der erste, der widerspruchsfrei ( eine ) Deltafunktion angegeben hat ( DIE Deltafunktion gibt es gar nicht; und eine Menge bilden sie schon gleich gar nicht. )

   Interesse? Oder solltest du am Ende diese Teorie gar schon kennen?

   Du kennst doch sicher den Witz, der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führe über die komplexe Ebene. Und genau so verhält es sich laut Nelson auch mit der NSA .

    Kapierst du eigentlich, weshalb hier noch STUDENTEN ihre Hausaufgaben abschreiben?

   Zu ein paar Analysis Übungen hatte ich mir besonders elegante NSA Lösungen überlegt.

   " Beweise, dass eine auf |R stetige Funktion gleichmäßig stetig ist, wenn der Grenzwert g ( °° ) existiert. "

   Aus der Stetigkeit folgt die inf(initesimale) Stetigkeit für alle ( Standard ) X , insbesondere für alle begrenzten x .

   Um gleichmäßige Stetigkeit zu zeigen, musst du inf Stetigkeit beweisen für alle x . Direkt aus der Definition des Grenzwertes g ( °° ) konnte ich zeigen: Inf stetig für alle unbegrenzten x .

  Es ist diese klare Gliederung, die mich an der NSA immer wieder so sehr begeistert.

   Und da rotzt mich dieser Kantonist an, ob ich immer noch nicht kapiert hätte, dass sein Prof nur Standard Analysis sehen will. Wieso meint der jetzt, wenn er mich nur frech genug anmacht, tät ich dem seine Arbeit machen???

 Mein Schönstes war aber der Überdeckungssatz von Heine-Borel.

   Ein reiner Notbehelf - Nelson braucht ihn überhaupt nicht.

   Eine Endlichkeitsaussage, aus der er folgen würde, ist mir nie bekannt geworden.

   Seine Beweise sind chaotisch.

   Gleich eingangs kennt die NSA eine Endlichkeitsaussage über ALLE Mengen - schon die halbe Miete für Heine-Borel.

   Mit Nelsons Teorie schaffst du den Beweis trivial im Kopf ...

   Aber zurück zu C0 und C1 ; und hier soll sich der Kreis schließen.

   Wir hatten eine Dozentin - " Marianne " Bei jedem " U " bekamst du Ohrenschmerzen;

  " NUll " ; " Unendlich " - " Gradient UUUU " . . .

    Schlafen war Unmöglich in ihren VorlesUngen.

    Ihre professoralen Kollegen witzelten ganz offen gegenüber uns Studenten, sie habe drei Hobbies: Matematik, Rosenzüchtung und ihren Hausfreund . . .

  ( In einer Anfängervorlesung vor Erstsemestern entschuldigte sie sich, wie mühsam Integralrechnung doch sei, biss sich auf den Zeigefinger und machte einen Knicks. )

   In Wirklichkeit war sie gefürchtet. Eines unserer kauzigsten Originale, Kommilitone " Axel " , hatte in ihrem Seminar einen Vortrag über ein Paper vorzubereiten. Es ging um irgendeine Art von Stetigkeit - die " gleichgradige " war's aber nicht.

   Hier wie kann dem Axel sein Teorem gelautet haben, wenn selbst ich als popeliger Physiker, jeder Art von Epsilontik abhold, spontan einwarf

   " DAS wenn wahr ist; dann muss jede monotone Funktion f.ü. diffbar sein. "

    Sei so gut; hilf meiner Erinnerung auf die Sprünge.

   Axels Reaktion war typisch. Er, der sonst keinen Spaß ausließ

   " Weißt du, wo man eine Gans her bekommt? Ich jobbe als Leiter eines Tanzorchesters; und meiner ersten Geige will ich eine Gans vor die Tür stellen, damit sie merkt, dass sie eine solche ist . . . "

   Axel ging der Aaasch mit Grundeis. Seine Aufgabe sei, dieses gefic kte Teorem zu refeerieren . . .

   Vergebens stellte ich ihm vor, meine Frage ( aus seinem Munde formuliert ) beweise doch Initiative; Interesse. Nein - dieses Paper und keinen Schlag mehr . . .

   Es gibt ja Funktionen, die auf ganz |R stetig, aber nirgends diffbar sind.

   Ach übrigens; hat die ===> Kochsche Schneeflockenkurve schon Eingang in die Lehrbücher gefunden?

   Oder steht da etwa immer noch, ein wesentlich einfacheres Exemplar als die Weierstrassfunktion harre noch der Beschreibung?

   War doch schön, dass ich Axel kennen lernen durfte. Häufig schreibe ich heute in Matelounge

  " Aus der Monotonie folgt Diffbarkeit f.ü. Die Kochkurve ist aber nirgends diffbar. Deshalb kann ihr Verlauf auf keinem noch so kleinen Intervall monoton sein; ihre Extrema liegen DICHT . "

  Und Mister Knister? Einverstanden mit meinem Gebrauch des Wortes Dicht?