Wurzel 3 ist irrational, Beweis

Question

Ich soll beweisen, dass √3 eine irrationale Zahl ist.

Meine Idee: Widerspruch

Annahme: √3 = rational, als Bruch von a/b (a,b ∈N) darstellbar, a,b sind teilerfremd

--> √3= a/b  |²

--> 3=a²/b²

--> 3b²=a²

--> daraus kann ich schließen, dass 3 ein Teiler von a², da a² ein Produkt aus 3*b² ist.

FRAGE 1: Wie komme ich jetzt darauf, dass 3 ein Teiler von a ist?

ohne konkret die Frage 1 beantworten zu können, habe ich folgende Gleichung: a=3*x

das setze ich in 3b²=a² ein --> (3*x)²=3b² --> 9x²=3b² --> 3x²=b²

und auch hier wieder, 3 ist Teiler von b²

FRAGE 2: Warum bzw. wie begründe ich auch hier warum 3 ein Teiler von b?

Wegen widerspruch: da 3 teilt a und b, und laut Definition a,b teilerfremd sind

Answer 1

weil das eine grundlegende Eigenschaft einer Primzahl ist:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Euklid

Gruß

Comments

also verstehe ich das richtig: Die Begründung wäre:

wenn 3 die a² teilt, dann teilt die 3 auch a weil a² das produkt aus a*a ist; da 3 eine Primzahl teilt es min. einen der beiden Faktoren?

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Ja.

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wie sieht es aus, wenn ich die √8 auf irrationalität überprüfen will..

Annahme: √8 ist rational

√8 =p/q --> 8=p²/q² --->   8q²=p²

da 8q² egal ob q gerade oder ungerade immer gerade ist, ist somit auch p² gerade, da nur eine gerade Zahl quadriert eine gerade ergibt ist auch p gerade..

p = 2*x

8q²=(2x)²

8q²=4x²/:4

2q²=x²

aber hieraus kann ich ja nicht schließen, dass q² gerade ist?

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Man könnte auch zeigen, da \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) ist, dass das Produkt aus einer rationalen und einer irrationalen Zahl nicht rational sein kann. Du bist doch jetzt aber auch an der Stelle angelangt, dass x durch 2 teilbar sein muss und kannst nochmal argumentieren, mit x = 2y usw.

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ich verstehe jetzt nicht genau was du mit r=2q meinst.. und wo du es einsetzt?

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Falls es dir nicht aufgefallen ist, ich hatte den Kommentar schon vorher editiert, weil ich mir schon dachte, dass es zu verwirrend ist.

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Vielen Dank dir, so schlau war ich nicht um da einfach weiter zu machen!!