Extremstellen der Funktion? f ( x ) = x ^ 4 und g ( x ) = x ^ 3

Question

 Brauche bitte Hilfe bei der Aufgabe

Ermitteln Sie die Extremstellen der Funktion f und der Funktion g. Versuchen Sie den Nachweis über die Art des Extremums über die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung zu führen. Beschreiben Sie, wieso dies nicht gelingt. Welcher der beiden Funktionen hat trotzdem ein Extremum. Wie könnte man das nachweisen?

f ( x ) = x ^ 4

g ( x ) = x ^ 3

Comments

Welchen Teil der Frage kannst du nicht bearbeiten?

1. und 2. Ableitung ausrechnen sollte ja kein Problem sein.

f ' (x) = 4x^3

f ''(x) = 12 x^2

Die Graphen zeichnen auch nicht. Oder?

f ' (x) = 4x^3

f ''(x) = 12 x^2

usw.

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Danke aber ich hab's jetzt ..habe die Fragestellung falsch verstanden

Answer 1

2. Ableitung bei x=0 ist beide Male 0, also ist das

Kriterium nicht anwendbar.

Aber x^4 hat bei 0 ein Min, da alle anderen Werte > 0 sind

und x^3 hat keines, da links von 0 neg. und rechts von 0 pos.

Answer 2

f ( x ) = x ^ 4
f ´( x ) = 4 * x^3
Stelle mit waagerechter Tangente
x = 0
( 0 | 0 )
Monotonie steigend
4 * x^3 > 0
x > 0
Monotonie fallend
4 * x^3 < 0
x < 0
Links vom Punkt fallend ; rechts davon steigend.
Die Stelle ist ein Tiefpunkt.
Da der Funktionswert nie kleiner als 0 werden ist dies ein
zusätzlicher Nachweis
f ´´( x ) = 12 * x^2
12 * 0^2 = 0
Die Krümmung ist null.
Der Punkt wird dadurch als Flachpunkt nezeichnet.

g ( x ) = x ^ 3        
g ´( x ) = 3 * x^2
3 *x^2 = 0
x = 0
( 0 | 0 )
Monotonie steigend
3 * x^2 > 0
stets
Monotonie fallend
3 * x^2 < 0
nie
Die Funktion ist stets steigend.
Der Punkt ist kein Extrempunkt.
g ´´( x ) = 6 * x^2
6 * x^2 = 6 * x^2 = 0
Die Krümmung ist null. Wendepunkt
Der Punkt ist ein Sattelpunkt.