ermittle eine Gleichung des Inkreises des Dreiecks ABC!

Question

A( -2/-6), B(10/6) , C(-4/8) Bitte vollständig ausrechnen, danke!

Comments

Offenbar weisst du schon, dass der Mittelpunkt der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist.

Damit könntest du rechnen. Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/20367/ermittle-die-gleichung-des-inkreises-a-1-11-b-4-5-c-4-1 und passe die Rechnung an deine Zahlen an. 

Allenfalls könntest du auch die HNF Hessesche Normalform einsetzen (kennst du das vielleicht?) 

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Mit Vektorrechnung oder elementargeometrisch?

Answer 1

Das einfachste ist m.E. mit der HNF. Sieht dann so aus
~draw~ dreieck(-2|-6 10|6 -4|8);kreis(1|3 4.246);gerade(0|4 1|3);gerade(4|4 1|3);zoom(10) ~draw~

Rechnung:

AB hat Gleichung y=x-4 also HNF  (y-x+4)/√2  = 0
BC hat Gleichung y= -1/7 x + 52/7  also HNF  (7y+x-52)/√50  = 0
AC hat Gleichung y= -7 x + 20  also HNF  (y+7x+20)/√50  = 0

Damit ein Punkt(x;y)  von AC und BC gleichweit entfernt ist
müssen die Beträge aus der HNF gleich und die VZ verschieden
sein, also

- (7y+x-52)/√50  =   (y+7x+20)/√50 
Das gibt  y = -x + 4   #

Entsprechned mit AB und BC gibt es :

(y-x+4)/√2  =   (7y+x-52)/√50
gibt  y =  1/3 x   +  8/3     ##

# und ## sind zugleich die Gleichungen der entspr. Winkelhalbierenden.
Also ist ges. Inkreismittelpu zu bestimmen durch
y = -x + 4     und  y =  1/3 x   +  8/3 
gibt M(1;3)
und der Radius durch Einsetzen von M in eine der HNF
gibt  6/√2 ≈ 4,243