Komplexe Gleichung Gleichstellen;

Question

Bestimmen Sie näherungsweise die Zeit, die der Läufer für den 100m Lauf benötigt.

Formel:

s(t)=0.0056t^4-0,2t^3+2,4t^2

Ich habe für s(t) 100m eingesetzt, nun nach umformen kam ich auf x^9=-37202,38095

Die neunte Wurzel ergibt -3,22, was nicht stimmen kann. Es muss eine Zahl nahe zur 10 liefern.

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=100%3D0.0056t%5E4-0.2t%5E3%2B2.4t%5E2

findet auch eine neg. Lösung die kommt genau so wenig in Frage, wie die beiden komplexen Lösungen.

Answer 1

ich verstehe nicht, wir du auf x⁹  kommst.

Aber die Gleichung   0.0056 t⁴ - 0,2 t³ + 2,4 t² = 100  hat die  reellen Lösungen

 t ≈ -5,264534258 ,  t  ≈ 10.38794150   [ Edit: "und t ≈ 15,29543923 war falsch" ]

Es muss ein Leistungssportler sein :-) .

Händige Lösungsmöglichkeiten sehe ich aber nur mit einem numerischen Näherungsverfahren, z.B. dem 

Newtonverfahren:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Infos dazu findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Gruß Wolfgang

Comments

Hi,

Wie kommst du auf 15,29543923 als Lösung der Gleichung? Die Funktion besitzt nur 2 reelle Lösungen (muss sie zwangsläufig auch, da die Ableitungsfunktion nur eine reelle Lösung besitzt.)

Gruß

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t ≈ 15,29543923 ist keine Lösung:

s(15,29543923) = 152,31

Neben der numerischen Lösung lässt sich das Ergebnis einer Gleichung 4. Grades nach Ferrari / Cardano immer auch mit elementaren Funktionen darstellen.

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Stimmt, habe mich verlesen,  15,29..  ist der Realteil einer der komplexen Lösungen.

Danke für den Hinweis. habe die Antwort entsprechend korrigiert.

Hier:

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/viertergrad.pdf

kann der Fragesteller nachlesen, ob er die die Gleichung wirklich explizit lösen will (kann ich mir schwer vorstellen).

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Da habe ich mich wohl Falsch formuliert, ich soll jeglich sagen mit welcher Zeit er 100m zurücklegt. t  ≈ 10.38794150 stimmt zwar, aber wie genau kommst du auf diese Antwort? :)

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Mit meinem Rechner :-)

Wenn du die Lösung berechnen willst, kannst du das entweder explizit machen (sehr aufwändig, wie ich meine ) :

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/viertergrad.pdf

oder mit einem numerischen Näherungsverfahren (vgl. Antwort):

Ausgehend von deinem Startwert 10 setzt du diesen für t_alt in die Formel:

t_neu =  t_alt - f(t_alt) / f ' (t_alt)  ein  

( f ' ist die Ableitung von f(t) = 0.0056 t⁴ - 0,2 t³ + 2,4 t² )

dann erhältst du einen verbesserten Wert t_neu .

Diesen nimmst du für t_alt usw.

Wenn sich der neue Wert in der von dir gewünschten Stellenzahl nicht mehr vom alten unterscheidet, kannst du aufhören und runden.

Bei diesem guten Startwert geht das sehr schnell.