Wachstum Exponential Funktion gleichstellen

Question

Herr A und Frau E haben beide einen Jahresgehalt von 15000€. Herr A's Gehalt steigt jährlich um 500€, Frau E's jährlich um 3%.

Hab erst mal die Funktionen ermittelt:

Herr A : G(t)=500*t+15000

Frau E: G(t)=15000*1,03^t

Jetzt ist gefragt wann Frau E erstmals mehr als Herr A verdienen wird?

gleichstellen geht ja nicht, wenn ich Herrn A seine Funktion in eine Expo.f umwandle habe ich zwei gleiche Funktion ?!!! Was mach ich falsch

Answer 1

Hi!

mit dem Newton-Verfahren:

Gleichgesetzte funktion:

f(t)=500*t+15000 -(15000*1,03^t) =0

Ableitung davon:

f '(t)=500- 15000*ln(1,03)*1,03^t =0

Startwert x1=8

erhalten wir durchs grafische Lösen:

also:

8-(f(8))/(f '(8))

= 7,97

Das Newtonverfahren beliebig lang wiederholen für einen genaueren Wert.

Nach ca. 8 Jahren hat die Frau  E  mehr verdient.

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Link zum Newtonverfahren:

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

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wie genau hast du denn den Starwert  8 gefunden? Scheint mir nämlich (außer mit einer Wertetabelle) gar nicht so einfach zu sein.

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Hi Wolfgang!

Ich habe doch dazu geschrieben, dass ich grafisch den Startwert 8 gefunden habe.

Hier mal veranschaulicht:

~plot~ 0,5*x+15;15*1,03^x;[[ 0 | 9 | 17 | 20 ]] ~plot~

Answer 2

Du kannst gleichsetzen, aber die gleichung nicht algebraisch lösen. Dazu benötigst du ein Näherungsverfahren.

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und wie mache ich ein näherungsverfahren

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Über eine Wertetabelle !

Answer 3

15000·1.03^t > 15000 + 500·t

Am einfachsten über eine Wertetabelle zu lösen

Nach 8 Jahren verdient Frau E erstmal mehr.

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Stimmt, aber wie berechne ich das genau weil da steht "Berechnen Sie.."

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Ich denke nicht das ihr die Gleichung algebraisch berechnen sollt. Das wäre nicht möglich.

Betrachte eventuell die Differenzfunktion

y = 15000·1.03^t - (15000 + 500·t)

Und schau über eine Wertetabelle, wo ein Wert > 0 angenoimmen wird. Das ist ab 8 Jahre der Fall.

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also wenn ich die Funktionen gleichsetzte und als Startwert 5 nehme bekomme ich 7,9.

Stimmt das dann auch?

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Für eine Wertetabelle schaust du einfach alle ganzzahligen Werte von t erstmal im Bereich von 0 bis 20 an. Da braucht man keinen Startwert.

Answer 4

Wie lautet der Fragetext genau

Stimmt, aber wie berechne ich das genau weil da steht "Berechnen Sie.."

oder

Jetzt ist gefragt wann Frau E erstmals mehr als Herr A verdienen wird ?

Wenn du exakt die Gleichheit beider Gehälter berechnen sollst kannst du
z.B. das Newton Verfahren anwenden.
Sollst du wahrscheinlich nicht.

Wenn nur die 2.Variante gefragt ist dann berechne mit Hilfe einer Wertetabelle

Jahr A   E
1 15500 15450
3 16500 16390
5 17500 17389
7 18500 18448
8 19000 19001

Im 8.Jahr hat Frau E erstmals mehr verdient als Herr A.

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Der genaue Fragetext lautet:

Berechnen Sie, wann Frau E zum ersten mal mehr als Herr A verdient!

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Im 8.Jahr.

Sollst du auch auf Monat, Tag und Stunde genau rechnen ?

Dann wäre Newton angesagt.