Kritischen Punkt berechnen

Question

kann mir bitte jemand sagen, ob hier ein Fehler ist? Bekomme keinen kritischen Punkt heraus.

Gleichung:

f(x)= √(36+x²) + √(225 + (20-x)²)

f´(x) = (x / √(36+x²)) + ((x-20)/ √(225+(20-x)²))

(x / √(36+x²)) + ((x-20)/ √(225+(20-x)²)) = 0

x²(225+(20-x)²)= (x-20)² * (36+x²)

umgeformt : 0 = -189x2 - 1440x+14400

0= x² + 7,62x - 76,19

Ich habe versucht hier die pq Formel anzuwenden, um den kritischen Punkt herauszufinden. Allerdings bekomme ich Werte von x1= 5,7 und x2= -13,3 und wenn ich diese Were in die erste Ableitung einsetze bekomme ich keine 0 raus.

Answer 1

 0 = -189x² - 1440x + 14400     ist richtig.

0 = x² + 160/21 x -1 600/21

Wenn du die Gleichung (pq-Formel) exakt mit Brüchen löst, erhältst du:

 x = 40/7 oder  x = - 40/3 

Wegen des Quadrierens ist eine Probe in der Ausgangsgleichung nötig und es bleibt nur die Lösung 

x = 40/7 ≈ 5,714285714

Deine Lösung ist also - bis auf die Probe - gerundet richtig.

Gruß Wolfgang

Comments

Aber, wenn ich die 5,71 in die erste Ableitung einsetze, muss es nicht immer 0 ergeben? Damit das Ergebnis richtig ist?
erste Ableitung: f´(x) = (x / √(36+x²)) + ((x-20)/ √(225+(20-x)²))

---

Wenn du (so stark)  gerundete Werte in der Probe verwendest, kann es fast nicht 0 geben.

Answer 2

  Schick; macht mich direkt neugierig. Du hast da zwei ( gleichseitige ) Hyperbel(äste)





         y1  ²  -         x  ²              =  36           (  1a  )

         y2  ²  -  (  x  -  20  )  ²     =  225         (  1b  )



      Du hast




       (  x1  |  y1  )  (  min  )  =  (    0  |  6    )       (  2a  )

       (  x2  |  y2  )  (  min  )  =  (  20  |  15  )       (  2b  )



      Den ganzen Morgen hab ich überlegt; wir schlagen jetzt Schneisen. Wir erwarten ein absolutes Minimum, Weitere Extrema kann es nicht geben. Denn Hyperbeln sind Kegelschnitte  ( KS ) ; kein KS hat WP . Die 2. Ableitung wäre immer positiv; zwischen zwei verschiedene Minima müsste aber ein Maximum fallen - Widerspruch.


     Aus



             y1  +  y2  =  min     (  3a  )


     folgt



          y1  '  +  y2  '  =  0       (  3b  )



    Die Ableitungen besorgen wir uns aus ( 1ab ) durch ===> implizites Differenzieren.




      y1  y1  '  -  x  =  0  ===>  y1  '  =  x / y1      (  4a  )
      
      y2  '  =  (  x  -  20  )  /  y2        (  4b  )



     Dann lautet ( 3b )




         x  y2  =  -  (  x  -  20  )  y1     |  ²    (  5a  )
  
     x  ²   [  225  +  (  x  -  20  )  ²  ]  =  (  x  -  20  )  ²  (  x  ²  +  36  )     |  -  [  x  (  x  -  20  )  ]  ²    (  5b  )
 
                                      225  x  ²  =  36  (  x  -  20  )  ²      |   :  ggt    (  5c  )

       25  x  ²  -  4  (  x  -  20  )  ²  =  0    (  5d  )



   Jetzt schau doch mal folgender Trick; wenn ich setze



      a  :=  5  x  ;  b  :=  2  (  x  -  20  )     (  6a  )



    dann steht in ( 5d ) die 3. binomische, und wir können faktorisieren:




          [  5  x  +  2  (  x  -  20  )  ]  [  5  x  -  2  (  x  -  20  )  ]  =  0   (  6b  )

             (  7  x  -  40  )  (  3  x  +  40  )  =  0    (  6c  )


    Eine der beiden Klammern muss Null sein.




     x1  (  min  )  =  (  -  40/3  )  ;  x2  (  minn )  =  40/7     (  6d  )




   Jetzt haben wir auf einmal zwei Minima; was ist da los? Bekanntlich stellt das Quadrieren von ( 5a ) keine Äquivalenzumformung mehr dar; die rechte Seite von ( 5a ) , will sagen die Klammer ( x - 20 ) , bleibt positiv. Dagegen das x auf der linken Seite wird ja negativ im Falle von x1 ( min ) ; x2 ( min ) ist die einzig zulässige Lösung.