Kann ich bei wolfram alpha den kritischen Punkt von diesem Gradienten berechnen lassen?

Question

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( \operatorname{grad}_{(x, y)} f=\left[\begin{array}{c}2 y^{2}+4 x^{2}+10 x \\ 4 x y+8 y\end{array}\right] \)
hat vier kritische Punkte, darunter \( (0,0),\left(-\frac{5}{2}, 0\right) \) und \( (-2, \sqrt{2}) \).
a) Berechnen Sie den vierten kritischen Punkt \( \vec{x}_{4} \) und geben Sie inn in der Form \( (a, b) \) an.
\( \vec{x}_{4}= \)

Answer 1

Das geht natürlich. Du brauchst ja nur den Gradienten gleich Null setzen.

Comments

Ahh super, Dankeschön!

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Sicherlich kann man auch die Hessematrix davon bestimmen, wenn ja wie, also wie muss ich das eintippen?

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Na die Funktion zu der du den Gradienten hast ist sicherlich

f(x,y) = 4/3·x^3 + 5·x^2 + 2·x·y^2 + 4·y^2 + c

Dazu suchst du jetzt die Hesse-Matrix. Wie das geht weiß ich

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Hessian+matrix+4%2F3%C2%B7x%5E3%2B5%C2%B7x%5E2%2B2%C2%B7x%C2%B7y%5E2%2B4%C2%B7y%5E2%2Bc

Wie das direkt aus dem Gradienten funktioniert, weiß ich nicht.

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Oh, wie geht denn das, dass man die Funktion davon bilden kann, gibt es dafür auch einen Rechner :D

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Du musst die erste Funktion des Gradienten nach x integrieren und die zweite nach y. Dann verschmelzt du beide Stammfunktionen zu einer gemeinsamen.

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ahh oki Dankeschön!!

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Da \(\left(-2, \sqrt{2}\right)\) als kritischer Punkt bereits bekannt war, muss hier(!) \( \left(-2,{-\sqrt{2}}\right) \) ebenfalls ein kritischer Punkt sein. Der war aber nicht gegeben, also ist es der noch fehlende. Das geht ganz ohne Rechnung.

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Der war aber nicht gegeben, also ist es der noch fehlende. Das geht ganz ohne Rechnung.

Völlig richtig. Dazu brauchst man sich ja nur mal die offensichtliche Skizze zu anschauen.

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Geht auch ohne Skizze: Für \(y=-2\) wird die erste Komponente zu einem rein quadratischen Term in \(y\), dessen Nullstellen symmetrisch sein müssen.

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Kann mir jemand sagen, wie ich die \( \frac{4x^3}{3} \) richtig da eintippe, habe es auch schon mit Klammern versucht aber es kommt immer was anderes außer dieser Bruch..

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Es kommt nur eine andere Darstellungsweise heraus. Wozu brauchst du genau die Darstellungsweise mit 4x^3 im Zähler?

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Mhh, dann kommt aber was falsches heraus.Die Stammfunktion vom ersten kam so raus

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Vielleicht sagst du lieber wie du auf deine abweichende Funktion

y = 4/3·x^3 + 5·x^2 + 2·x·y^2 + 2·x^2·y + 8·x·y

kommst. Berechne dort doch mal den Gradienten von hand. Das stimmt meiner Meinung nach nicht. Die stimmt ja auch nicht mit meiner überein die ich benutzt habe.