a) Mit den Bezeichungen von https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens
hast du: w1 = 1 und w2= x^2 und musst erst mal v1 normieren.
Da aber ∫ w1*w1 dx = ∫ 1 dx und ( bei deiner Def. des Skalarprod.
fehlen die Grenzen, ist aber wohl von 0 bis 1 gemeint, da ja
C[0,1] zugrunde liegt ) in den Grenzen von 0 bis 1 ist das gleich 1.
Also ist v1 schon mal normiert. Damit v1 = w1.
Dann musst du nach Gram-Schmidt ausrechnen:
v2 ' = w2 - < v1 ; w2 > * v1
Dazu < v1 ; w2 > = ∫ v1*w2 dx = ∫x^2 dx
= 1/3 x^3 in den Grenzen von 0 bis 1 = 1/3 .
Also
v2 ' = x^2 - 1/3 * 1 = x^2 - 1/3
Das nun normieren gibt
< v2 ' ; v2 ' > = ∫ (x^2 - 1/3 )*(x^2 - 1/3 ) dx
= ∫x^4 - (2/3) x^2 + 1/9 dx in den Grenezen von 0 bis 1
= 4/45 also || v2' || = 2 / ( 3*√5 )
Damit v2 = v2 ' * 3*√5 / 2 = 1,5*√5 *x^2 - 0,5*√5