Gram Schmidt Verfahren Euklidischer Vektorraum

Question

Kann mir jemand folgendes Beispiel erklären:

 Betrachten Sie den euklidischen Vektorraum V = (C[0,1],⟨·,·⟩), wobei das Skalarprodukt und die Norm wie folgt definiert sind: 

⟨f.g⟩=∫f(x)*g(x)dx   IIfII₂ √⟨f,f⟩

a) Betrachten Sie einen Unteraum U von V mit der Basis B = {b1,b2} = {1,x2}. Orthonormieren Sie diese Basis bezüglich des obigen Skalarproduktes mit Hilfe des Verfahrens von Gram-Schmidt.

b)Berechnen Sie die Orthogonalprojektion u von v(x) = e^−x ∈ V auf den Unterraum U.

Danke schon mal im Voraus

Comments

Bis sich einer dem im ganzen annimmt, wo scheiterst du denn konkret?

Answer 1

a) Mit den Bezeichungen von https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

hast du: w1 = 1 und  w2= x^2  und musst  erst mal v1 normieren.

Da aber  ∫ w1*w1 dx = ∫ 1 dx   und ( bei deiner Def. des Skalarprod.

fehlen die Grenzen, ist aber wohl von 0 bis 1 gemeint, da ja

C[0,1] zugrunde liegt ) in den Grenzen von 0 bis 1 ist das gleich 1.

Also ist v1 schon mal normiert.  Damit  v1 = w1.

Dann musst du nach Gram-Schmidt ausrechnen:

v2 ' = w2 - < v1 ; w2 > * v1 

Dazu  < v1 ; w2 > = ∫ v1*w2 dx = ∫x^2 dx

= 1/3 x^3 in den Grenzen von 0 bis 1 =  1/3 .

Also

v2 ' = x^2 - 1/3 * 1  =  x^2 - 1/3

Das  nun normieren gibt

< v2 '  ; v2 '  > = ∫ (x^2 - 1/3 )*(x^2 - 1/3 )  dx

= ∫x^4 - (2/3) x^2  +  1/9  dx in den Grenezen von 0 bis 1

= 4/45   also  || v2' || = 2 / ( 3*√5 ) 

Damit  v2 =  v2 ' *  3*√5   / 2   = 1,5*√5  *x^2 - 0,5*√5

Comments

Gemäß
https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion#Definition_3
ist die gesuchte Projektion P(v) die Abbildung,
 die mit der in a) berechneten Orthonormalbasis u1;u2 so aussieht
P(v) = <v,u1>u1 + <v,u2>*u2

Für mit  v=e^x musst du halt die beiden Skalarprodukte ausrechnen
<v,u1>=e-1    und 
<v,u2>=e*√5 - 2,5*√5

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Danke das hat mir sehr geholfen und du hast Recht mit den Grenzen, das hatte ich vergessen dazu zu schreiben.

Ich verstehe nur nicht im allerletzten Schritt als du den Vektor normiert hast und partiell Wurzel gezogen hast, wie du dann am Ende auf (3*√5)/2 kommst. Davor hattest du nämlich noch den Kehrwert mit 2/(3*√5) auf den ich auch gekommen bin. Warum ist es da zum Schluss nötig den Bruch zu vertauschen?

Lg

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Du musst ja beim Normieren den Vektor mit dem

Kehrwert seiner Länge malnehmen damit auf dioe Länge 1 kommst.

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Die Integrationsgrenzen \( 0 \) und \( 1 \) sind aufgrund der Wahl \(  V = (C[0,1],⟨·,·⟩) \) plausibel.