Vektorielle Ebenengleichung der Ebene durch P1 = (1; 2; 3), P2 = (3; 2; 1) sowie Ursprung und Abstand berechnen

Question

Bestimmen Sie in vektorieller Form die Ebenengleichung der Ebenen, die durch die Punkte P1 = (1; 2; 3), P2 = (3; 2; 1) und den Ursprung geht. Bestimmen Sie den Abstand der Ebene vom Punkt P3 = (4; 4; 4).

Kann mir jemand helfen mit der Aufgabe?

Habe nächste Woche Prüfung.

Liebe Grüße Miniwind

Answer 1

Anmerkung: Vektoren im Folgenden fett. Mit Pfeil resp. vertikal abschreiben!

 Ebenengleichung der Ebenen, die durch die Punkte P1 = (1; 2; 3), P2 = (3; 2; 1) und den Ursprung geht.

E: r = s (1,2,3) + t (3,2,1)

Bestimmen Sie den Abstand der Ebene vom Punkt P3 = (4; 4; 4).

Betrachte das durch die 3 Vektoren aufgespannte Spat.

Den Abstand erhält man als

|Spatprodukt aller 3 Vektoren| / | Vektorprodukt der Vektoren, die die Grundfläche aufspannen|

Spatprodukt 

123 12
321 32     = 8 + 8 + 36 - (24 + 4 + 24) = 52 - 52=0
444 44

Weil hier 0 rauskommt und die Grundfläche sicher nicht 0 ist, muss ich die gar nicht mehr berechnen.

P3 liegt in E. Der Abstand ist daher 0.

Comments

Völlig richtig. Durch etwas schwarfes hinsehen könnte man erkennen dass

1 * (1,2,3) + 1 * (3,2,1) = (4,4,4)

und somit der Punkt in der Ebene liegt und damit den Abstand 0 hat.

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und P3 nimmt man nicht mit in die Ebenengleichung?

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Wenn ich wissen will ob P3 in der Ebene liegt setzte ich die Ebenengleichung und den Punkt P3 gleich.

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@Miniwind: Du kannst auch erst die Koordinatenform der Ebenengleichung erstellen und daraus die HNF. Dann kannst du den PUnkt P3 einsetzen. Das ist aber viel aufwändiger als |Spatprodukt| durch |Vektorprodukt|.

Answer 2

In der Parameterform einer Ebenengleichung kann jeder Ortsvektor eines Punktes der Ebene die Rolle des Stützvektors, manchmal auch Aufpunktvektor genannt, einnehmen. Kennt man Punkte der Ebene, wird man der Einfachheit halber den Ortsvektor eines dieser Punkte zum Stützvektor machen, dann muss man nicht erst suchen. Liegt der Ursprung O(0/0/0) in der Ebene, verspricht sein Ortsvektor in der Rolle des Stützvektors eine besonders einfache Darstellung der Parameterform, daher wird man ihn, wenn man die Möglichkeit hat, bevorzugt verwenden. Man muss aber nicht.

Comments

Ich könnte den ja berechnen und ihn die Gleichung einsetzen, oder?

Wenn man drei Punkte gegeben hat, nimmt man immer Punkt 1 für r1, oder?

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Beachte: Es gibt in einer Ebene unendlich viele gleichberechtigte Punkte. Du kannst in deinen Gleichungen diejenigen benutzen, mit denen du am besten rechnen kannst.