Ungleichung mit Betrag und Bruch (2x)/(|x+1|)>=1

Question

ich beschäftige mich mit dieser Ungleichung:

$$ \frac { 2x }{ |x+1| } \ge 1 $$

Was habe ich mir gedacht: 1.) Betrag beachten 2.) Bruch beachten

$$ |a|=\begin{ Bmatrix } \quad a\quad für & a>=0 \\ -a\quad für & a<0 \end{ Bmatrix }  $$

Also:

Fall 1: 

x+1>=0

x>=-1

Fall 1.1 Bruch:

x+1>0

x>-1

Fall 1.2 Bruch:

x+1<0

x<-1

Rechnung:

$$ \frac { 2x }{ |x+1| } \ge 1 $$

$$ \frac { 2x }{ x+1 } \ge 1 $$

x>=1

Fall 2:

-x-1<0

x>-1

Fall 2.1:

-x-1>0

x<-1

Fall 2.2:

-x-1<0

x>-1

Rechnung:

$$ \frac { 2x }{ |x+1| } \ge 1 $$

$$ \frac { 2x }{ -x-1 } \ge 1 $$

2x>=-x-1

x>=-1/3

Ist das soweit richtig durchdacht?

Answer 1

Man kann auch rechnen

D = ℝ \ { -1 }

2 * x / abs ( x + 1 )  ≥ 1  | * abs ( x + 1 )

2 * x ≥ abs ( x +1 )

und dann beide Fälle durchspielen

Comments

Ich habe mir weder deinen Schriftwechsel mit dem
mathecoach noch deine Lösungen so genau angesehen.

Wie du auf 4 Fälle kommst weiß ich nicht.

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Hier meine Lösungen

Answer 2

2·x/ABS(x + 1) ≥ 1

1. Fall x + 1 < 0 --> x < -1

2·x/(- x - 1) ≥ 1

2·x ≥ - x - 1

3·x ≥ - 1

x ≥ - 1/3 und x < -1 --> Keine Lösung

2. Fall x + 1 > 0 --> x > -1

2·x/(x + 1) ≥ 1

2·x ≥ x + 1

x ≥ 1 und x > -1 --> x ≥ 1

Comments

D.h. mein Rechenweg war schon richtig oder?

Weil ich doch erst den Betrag und dann den Bruch berücksichtigen muss

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Ist  versehentlich hierhin gerutscht.
siehe meine Antwort

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Ja. Du musst aber auch nachher zumindest die richtigen Schlüsse ziehen.

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Ja bezüglich der Schlüsse manche ich mir derzeit noch Gedanken. Georg zeichnet sich das immer. Ich habe das auch mal gemacht:

Aber daraus geht das auch nicht wirklich hervor....

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So im linken Fall sehe ich die Lösungsmenge im rechten aber nicht...

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Ah ich habe meinen Fehler gerade gesehen. Linke Seite ist richtig aber bei der rechten Seite:

Fall 2:

x+1<0

x<-1