Ungleichung x/(|x+3|)<1/(x-1)

Question

mir bereitet gerade diese Ungleichung ein paar Schwierigkeiten:

$$ \frac { x }{ |x+3| } <\frac { 1 }{ x-1 }  $$

Ich würde gerne wissen, wie man eine Ungleichung dieser Art behandelt, und wie die Fälle zu unterscheiden sind.

Die Vorzeichentabelle(n) liefert mir zwar einige Ergebnisse Wolfram Alpha sagt jedoch, dass davon nur eines richtig ist...

Answer 1

Du hast eine Ungleichung mit einer Betragsfunktion und Brüchen.

Also schon etwas komplizierteres.

Wichtig ist festzustellen wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullpunkt der Betragsfunktion feststellen

Hier x = - 3

Der Nenner des Bruchs auf der rechten Seite lautet
x -1. Mit dem Nenner wird sicher einmal multiplziert werden
müssen und dann gilt es zu unterscheiden wann der Nenner positv
oder negativ ist. Das Ungleichheitszeichen muß dann gedreht werden.

x = 1

- auf einem Zahlenstrahl werden diese Werte eingetragen

- es ergeben sich 3 Bereiche die getrennt untersucht werden müssen.

Soviel zunächst. Vielleicht kannst du die Aufgabe allein lösen.
Ansonsten wieder melden.

Comments

Danke georg, auf dich habe ich eigentlich die ganze Zeit gewartet (nichts gegen den Mathecoach). Diese Zeichnungen von dir sagen wieder mal alles aus! Genau so ist es jetzt verständlich! Da danke ich dir!

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Schön zu hören. Falls du zu dieser Aufgabe noch Fragen oder
auch eine andere Frage hast dann wieder hier einstellen.
Dazu ist das Forum da.

Zur Kontrolle :
Lösung : alles oberhalb der x-Achse.

~plot~ ( 1 / ( x -1 )) - ( x / abs( x -3 )) ~plot~

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Oder auch

blau größer rot

~plot~ (1/(x-1)) ; (x/abs(x-3)) ~plot~

Answer 2

x/ABS(x + 3) < 1/(x - 1)

x + 3 = 0 --> x = -3

x - 1 = 0 --> x = 1

Untersuche die Fälle

Fall 1: x < -3

x/(-x - 3) < 1/(x - 1)

x(x - 1) > -x - 3

x^2 - x > -x - 3

x^2 > - 3 --> Immer erfüllt x < - 3

Fall 2: -3 < x < 1

x/(x + 3) < 1/(x - 1)

x(x - 1) > x + 3

x^2 - x > x + 3

x^2 - 2x - 3 > 0 --> -3 < x < - 1

Fall 3: 1 < x

x/(x + 3) < 1/(x - 1)

x/(x + 3) < 1/(x - 1)

x(x - 1) < x + 3

x^2 - x < x + 3

x^2 - 2x - 3 < 0 --> 1 < x < 3

Zusammenfassung der Lösungsmenge

L = ]-∞; -3[ ∪ ]-3; -1[ ∪ ]1; 3[

Comments

Ok, was war denn der Gedanke bei:

x + 3 = 0 --> x = -3 

x - 1 = 0 --> x = 1

Woher weiß man, wie dort vorzugehen ist? Ich habe einfach die Regel des Betrages angewandt und das ganze in eine Form gebracht, wo ich die Tabelle anwenden konnte...

Und dann:

x² - 2x - 3 > 0 --> -3 < x < - 1 

x² - 2x - 3 < 0 --> 1 < x < 3

PQ liefert bei mir: 3, -1

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Du schaust dir überhaupt mal die Kritischen Stellen an wo der Nenner 0 wird bzw. wo der Term mit dem wir multiplizieren wollen einen Vorzeichenwechsel hat. Zufällig ist das auch gleich die Fallunterscheidung des Betrages.

Dann untersuchst du die Intervalle zwischen den kritischen Stellen.