Wie berechnet man die Fläche bei einer Parabelschar? fa(x) = 4 - a^2 x^2, a ≠ 0

Question

≠Gegeben ist die Parabelschar

f_a(x) = 4 - a²x²,    a ≠ 0

1. Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen einer Scharkurve und der x- Achse.

2. Kann dieser Flächeninhalt den Wert 1 haben? Begründen Sie.

Answer 1

Du musst die Nullstellen der Parabel in Abhaengigkeit von a bestimmen. Eine Flaeche zu berechnen gibt es nur, wenn die Parabel 2 Nullstellen hat. Aufgrund der Achsensymmetrie kannst Du jetzt entweder von Nullstelle bis Nullstelle, negativer Nullstelle bis zum Ursprung oder vom Ursprung bis zu positiven Nullstelle ein Integral bilden. Falls Du eine Variante mit dem Ursprung waehlst, musst Du nachher natuerlich die Flaeche verdoppeln. Diese Flaeche in Abhaengigkeit von a musst Du dann für Aufgabenteil 2 gleich 1 setzen und sehen, ob es eine Lösung für a gibt, um hier die Antwort zu erhalten.

a)

Nullstellen bestimmen.

Integral von bis bilden

b)

Flaechenfunktion gleich 1 setzen und nach a loesen.

Gruss

Comments

danke dir.
Ich versuche es mal.

Answer 2

Gegeben ist die Parabelschar \(f_a(x) = 4 - a^2x^2\),  mit  \(a ≠ 0\)

1. Berechnen sie den Flächeninhalt zwischen einer Scharkurve und der x- Achse.

\( 4 - a^2x^2=0\)

\(x^2=\frac{4}{a^2}|±\sqrt{~~}\)

\(x_1= \frac{2}{a} \)

\(x_2= -\frac{2}{a} \)

\(A=2\int\limits_{0}^{\frac{2}{a}}(4 - a^2x^2)dx\\=2[4x-\frac{a^2}{3}x^3 ]_{0}^{\frac{2}{a}}\\=2[4\cdot\frac{2}{a}-\frac{a^2}{3} \cdot \frac{2^3}{a^3}]-0\\=2[\frac{8}{a}-\frac{8}{3a}]\\=2[\frac{16}{3a}]\\=\frac{32}{3a}\)

\(A=|\frac{32}{3a}|\)FE

2. Kann dieser Flächeninhalt den Wert 1 haben? Begründen Sie.

\(1=|\frac{32}{3a}|\)    Für \(a>0\)

\(3a=32\)

\(a=\frac{32}{3}\)