Scheitelpunkte und Achsenschnittpunkte der Parabelschar f(x) = tx^2 -tx ohne Ableitung bestimmen

Question

Kann mir jemand erklären wie ich bei der Funkton f(x) = tx^2 -tx den Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte ohne Ableitung bestimmen kann??

 

Answer 1

Du kannst die Funktionsgleichung faktorisieren:

f(x) = tx² -tx = tx *(x-1)

Für beliebige t sind die Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 1

Nun weisst man aus Symmetriegründen, dass die x-Werte der Scheitelpunkte einer Parabel immer genau zwischen den Nullstellen liegen, dh. hier auf der Geraden mit der Gleichung x=0.5.

Daher: Scheitelpunkt S (0.5 | t* o.5^2 - t*0.5) = S(0.5 | -0.25 t)

 

Comments

Müsste es nicht eigentlich  t*0.5^2  -  t*0,5 heißen??

Das heißt dann doch, dass alle Scheitel auf einer Geraden durch x = 0,5 liegen, oder??

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Genau!  Ich muss das noch korrigieren.

Answer 2

Kann mir jemand erklären wie ich bei der Funkton \(y = tx^2 -tx\) den Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte ohne Ableitung bestimmen kann??

1.)Scheitelpunkt

\(y = tx^2 -tx\)

\(\frac{y}{t} = x^2 -1*x\)

\(\frac{y}{t}+\frac{1}{4} = (x -\frac{1}{2})^2\)

\(\frac{y}{t} = (x -\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\)

\(y= t*(x -\frac{1}{2})^2-\frac{t}{4}\)

\(S(\frac{1}{2}|-\frac{t}{4})\)

Schnitt mit x-Achse:

\( t*(x -\frac{1}{2})^2-\frac{t}{4}=0\)

\( (x -\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)

1.)\( x -\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

\( x₁=1\)

2.)\( x -\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\)

\( x₂=0\)

Schnitt mit y-Achse:

\(y(0) = t*0 -t*0=0\)