Grenzwert lösen von Wurzeln und konvergierendes

Question

Kann mir jemand Schritt für Schritt erklären was man hier macht und wieso? Bin nicht sonderlich gut mit konvergenz und Folgen und hoffe ihr könnt mir das hier so einfach erklären dass ich das nachvollziehen kann

Answer 1

aus Monotonie und Beschränktheit folgt Konvergenz einer Folge, das wurde bei 1. und 2. überprüft.

Wenn die Folge konvergiert kann man den Hinweis benutzen um den Grenzwert zu berechnen. Das wurde ja davor gemacht wobei da 2 Möglichkeiten in Betracht kamen, was dazu geführt hat, dass bei der Beschränktheit auf eine sinnvolle untere Schranke zurückgegriffen wurde.

e) Hier wurde, wie im Hinweis angedeutet, mit der 3. Binomischen Formel erweitert und mit einer Nullfolge nach oben abgeschätzt.

Gruß

Comments

Könntest du mir die 2.Behauptung genauer erklären? Vor allem wie man von a_n-a_n+1 auf √a_n(√a_n-1)-2 gekommen ist? Und wenn diese Behauptungen nicht funktionieren würden also wenn sie falsch wären dann müsste man die gleichen behauptungen mit dem grenzwert 1 anstellen oder?

Ich weiß, dass die dritte binomische formel (a²-b²)=(a+b)*(a-b) ist, als wenn√n+5= a², dann müsste a = √√n+5?

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Man hat die rekursive Definition für \(a_{n+1}\) eingesetzt und dann \(\sqrt{a_n}\) ausgeklammert. Mehr nicht.

Nach deiner Notation grade nicht, hier wurde \(a=\sqrt{n+5}\) und \(b=\sqrt{n}\) verwendet. Dann:

$$ a-b = \frac{(a-b)(a+b)}{a+b} = \frac{a^2-b^2}{a+b} $$

Diese Umformung solltest du auf jeden Fall verinnerlichen, die trifft man öfters.