Grenzwert berechnen potenz fakultät

Question

Hallo gegeben ist folgendes

(n^{2n}) / ((3n)!) und ich soll zeigen , dass es gegen 0 konvergiert.

ich habe folgendes gemacht :

0<= (n^2n)/((3n)!) = n/1 * n/3 *...*n/n-3 * n/n-2 * n/n-1 * n/n* n/n+1 * n/n+2 * n/n+3*...*n/3n-3 * n/3n-2 * n/3n-1 * n/3n

<= 1/n! <= 1/n

und nach sanwichlemma gilt,dass es gegen 0 konvergiert.

stimmt das so und kann man das einfacher zeigen ,woran man das sofort sehen kann.

Mfg

Comments

Deine Aufgabe ist mir gerade zu "hoch". Ich schaue vielleicht später nochmals rein.

EDIT: Hast du automatische Rechtschreibkorrektur drinn? Wenn ja, musst du aufpassen, was die so macht. Ich habe einen falschen Buchstaben oben in blau korrigiert.

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Du kannst auch zeigen, dass die Folge die untere Schranke 0 besitzt und monoton fallend ist, dann wäre die Konvergenz gegen 0 auch gezeigt.

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Wäre toll ,wenn du mir weiterhelfen könntest.

Ist für die Klausur sehr wichtig.

Answer 1

Hi,

$$ { a }_{ n}=\frac { n^ { 2n }}{ (3n)! } $$ $$ n ∈ ℕ$$

Dass 0 eine untere Schranke ist erkennt man daran, dass

$$ { n }^{ 2n } > 0$$  sowie $$(3n)!\geq1  $$ für alle n ∈ ℕ.

Die Folge wird also nie negativ.

Monotonie:

$$ { a }_{ n+1}-{ a }_{ n}=\frac { n^ { 2(n+1) }}{ (3(n+1))! }-\frac { n^ { 2n }}{ (3n)! }=\frac { n^ { 2n }}{ (3n)! }(\frac { n^2 }{ (3n+3)(3n+2)(3n+1) }-1)={ a }_{ n}(\frac { n^2 }{ (3n+3)(3n+2)(3n+1) }-1)<{ a }_{ n}(\frac { n^2 }{ n^3 }-1)<0$$

Also ist a_n monoton fallend → $$\lim_{n\to\infty} { a }_{ n}=0 $$

Comments

hallo danke für die Antwort.

Die Vorgehensweise habe ich auch verstanden. Nur ist mir nicht klar wie du bei an+1 -an

auf =  n^{2n}/(3n)! (n^2/((3n+3)(3n+2)(3n+1))-1) gekommen bist..

Meine halt nach der Subtraktion

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(3(n+1))!=(3n+3)!=(3n+3)*(3n+2)*(3n+1)*(3n)*......

=(3n+3)*(3n+2)*(3n+1)*(3n)!

Das (3n)! hab ich dann ausgeklammert.

Gruß