Wie ermittle ich hier die Wendepunkte? f (x)=e^{-x} - 2x^2

Question

1) f (x)=e^-x-2x^2

Zweite Ableitung lautet: 1/e^x-4=0

Wie rechne ich weiter?

2) f (x)= sin (x)+x ; xE [0;2pi]

Und hier?

Man soll noch die Intervalle angeben, in denen der Graph  von f eine Linkskurve bzw. Rechtskurve ist!

Wie mache ich das?

Comments

1)

1/(e^x)-4=0

1/(e^x) = 4

1/4 = e^x

Ln (1/4) = x

-1,39 = x

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2)

f"(x) = -sin (x)

Wann wird diese Funktion 0?

Wenn man sie sich zeichnen lässt, dann sieht man, dass das bei x=0, x=π und x=2π der Fall ist. Das sind die Wendestellen.

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vgl. meine Antwort

Answer 1

2)  f (x)= sin (x)+x ; xE [0;2pi]

f '(x) = COS(x) + 1 

f ''(x) = 0 ⇔  - SIN(x) = 0  ⇔ sin(x) = 0  ⇔  x = 0 oder  x = π oder x = 2π  

Die einzige Wendestelle liegt im angegebenen Intervall bei x = π

weil die beiden anderen Nullstellen von f  Randstellen sind, also gibt es dort keinen Krümmungswechsel in D

Gruß Wolfgang

Comments

Da das Intervall geschlossen ist, gehören 0 und 2π auch dazu.

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D = [ 0 ; 2π ] , das ist klar.

Aber ein "Krümmungswechsel" findet im Definitionsbereich nur bei x =π statt. Deshalb liegt nur dort ein Wendepunkt. Eventuelle andere Definitionen für "Wendepunkt" würde ich für unsinnig halten.

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Hallo Wolfgang,

 ich würde einen Wendepunkt auch so definieren

- Krümmung an der Stelle x ist 0

und

  links und rechts der Stelle x muß die Funktion noch weitergehen
sonst kann sich nichts wenden.

  mfg Georg

  Nachdem ich dies geschrieben habe fällt mir der Flachpunkt noch ein.
Der Flachpunkt würde obige Definitionen erfüllen. Es findet aber kein
Vorzeichenwechsel der Krümmung statt. Also muß noch

- Vorzeichenwechsel der Krümmung 

  mit hinzu. Definition 3 setzt Def. 2  voraus. Def.2 kann entfallen.

  mfg Georg

  Noch ein Nachtrag : Beinhaltet der Vorzeichenwechsel  eigentlich schon
das dazwischen die Krümmung 0 ist ? Bei geteilten Funktionen kann
auch ein Sprung in Krümmung vorhanden sein. Gilt der Punkt als
Wendepunkt ?

 

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@georgborn:

1. https://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#Definition

setzt eine stetige Funktion vor. Dann musst du dich nur um "konkav" und "konvex" konzentrieren.

2. Wenn Stetigkeit behandelt wird, wird auch bewiesen, dass Summen von stetigen Funktionen wieder stetig sind....

3. Zurück zur obigen Definition. Hier liegt der Spezialfall (Schulfall) von genügend oft stetig differenzierbaren voll. Daher kann mit den Vorzeichen der 2. Ableitungen argumentiert werden.

4. π liegt innerhalb des Intervalls [0 , 2π]

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Hallo TR,

   schönen Dank für deinen Link.

  Es heißt darin

Am Wendepunkt / Wendestelle muß die Krümmung 0 sein. Die aufgezeichnete
Funktion hat also in x = xw keine Wendestelle

Zusammenfassung für eine Wendestelle bei x = xw
1. Stetig
2. Diff-bar
3. Krümmung = 0
4. Vorzeichenwechsel der Krümmung

  mfg Georg

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Du darfst hinreichende und notwendige Bedingungen nicht mischen.

Die Definition in Wikipedia beginnt mit "sei" und ist mit "konvex" ist fertig.

Alles Andere sind Veranschaulichungen und Vereinfachungen.

Streiche daher deinen 2. und 3. Punkt hier:

"

Zusammenfassung für eine Wendestelle bei x = xw 
1. Stetig 

4. Vorzeichenwechsel der Krümmung 

" 

Answer 2

Die Krümmung einer Funktion berechnest du mit der zweiten Ableitung. D.h. du betrachtest die zweite Ableitung jeweils rechts und links vom Wendepunkt.

Dabei bedeutet f''(x) > 0 eine Linkskrümmung, weil man wenn man lange genug eine Linkskurve fährt im positiven y-Bereich endet.

Dabei bedeutet f''(x) < 0 eine Rechtskrümmung, weil man wenn man lange genug eine Rechtskurve fährt im negativen y-Bereich endet.