Analysis: In welchen Intervallen ist f (siehe Aufgabe) konvex bzw. konkav?

Question

:)

Hab in wenigen Tagen Prüfung in der Uni im ersten Semester und bin gerade beim altbekannten Thema der Kurvendiskussion. Wie schon im Titel zu lesen ist, weiß ich nicht, wie man es bei dieser Aufgabe schafft, zu bestimmen, wann die Funktion konvex bzw. konkav ist. Die Funktion lautet:

f(x) = x^x  ; umgeschrieben f(x) = e ^{x * ln (x)}

f'(x) = ...

f''(x) = x^x ((ln(x)+1)² * 1/x)

Soweit ich weiß, ist f''(x) > 0 konvex und f''(x) < 0 konkav.
Lediglich fällt es mir noch zu schwer, die Ungleichung so nach x umzustellen, sodass etwas sinnvolles dabei rauskommt. Könnte mir einer helfen?

Schöne Grüße! :)

Answer 1

Deine zweite Ableitung ist nicht richtig. Du brauchst hier auch nichts umzustellen sondern musst dir überlegen, ob deine zweite Ableitung (nach Korrektur) überhaupt negativ sein kann. Dabei solltest du den Definitionsbereich berücksichtigen.

Gruß

Comments

Definitionsbereich, den ich herausgefunden hab:

D_f = ℝ⁺

Zur Konvexität: Wenn man nach obiger Ableitung gehen würde, könnte sie nur positiv sein. Das heißt, die Funktion ist schon bei f''(x) konvex und ich muss nicht weiteres tun? Oder was müsste man noch machen?

Zur 2.Ableitung: Wundere mich, warum sie nicht richtig ist :D Also das waren meine Rechenwege:

f'(x) = e^{x ln(x)} * (x * ln(x))' 
= e^{x ln(x)} * (ln(x) + 1)

f''(x) = e^{x ln(x)} * (ln(x) + 1)² + e^{x ln(x)} * 1/x  (dann fass ich die e^x ... zusammen)
f''(x) = e^{x ln(x)} * ((ln(x) +1)² * 1/x)

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Aus einem Plus zauberst du ein Mal. Und ja wenn du ausreichend begründest warum die zweite ableitung stets positiv ist bist du fertig mit dem Nachweis von Konvexität.

Answer 2

         y  =  x  ^  x     (  1a  )



      hat Ableitung




     y  '  =  y  [  ln  (  x  )  +  1  ]      (  1b  )




    Nochmal ableiten; Produktregel unter Beachtung von ( 1b )




    y  "  =  y  [  ln  (  x  )  +  1  ]  ²  +  y / x  =  0  |  :  y    (  2a  )    ( Die e-Funktion kann nie Null werden. )

              x  [  ln  (  x  )  +  1  ]  ²     =  (  -  1  )    (  2b  )



 Du musst einfach überlegen, dass x ja nie negativ werden kann. Wenn du den Grenzwert x = 0 noch zulässt, ist x ^ x nur für x > = 0 definiert; keines Falls darf die Basis einer e-Funktion negativ werden.