Berechne die Summe der folgenden Reihen

Question

Berechne die Summe folgender Reihen für  |x|<1:

a.)  $$\sum_{n=1}^{\infty}{n^2x^n}$$

c.) $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{n}}$$

Answer 1

(a)  Für alle \(x\in\mathbb R\) mit \(\vert x\vert<1\) gilt bekanntlich die geometrische Reihe$$\quad\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}$$$$\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2}$$$$\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty nx^n=\frac x{(1-x)^2}$$$$\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty n^2x^{n-1}=\frac{1+x}{(1-x)^3}$$$$\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty n^2x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}.$$