Nullpunkt Parameter x-Achse

Question

Wir haben das Thema noch nicht besprochen und sollen es uns selbst erarbeiten.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen würde.

Anzahl der Nullstellen bestimmen:

Untersuche, für welche Werte des Parameters die zugehörige Parabel zwei oder genau einen oder keinen Punkt mit der x-Achse gemeinsam hat.

1)      ft(x) = x²-x+t

2)      ft(x)= 5t²x² + 4tx – 1

3)      fa(x) = ax² + 6x -4

4)      ft(x) = 1/2x²+ t/2 x –t²

Comments

Ich soll feststellen für welchen Parameterwert die dazugehörige Parabel keinen, einen oder zwei Punkte mit der x-Achse gemeinsam haben.

Ich sitze schon  zwei Stunden hier und bekomme das einfach nicht hin. Weiß jemand, wie das geht?

a)ft(x) = ½ x² + t/2 x – t²

b)fa(x)= ax² + 6x – 4

c) ft(x) = 5t²x² + 4tx – 1

d)ft(x)=x² - x + t

Answer 1

1)     x²-x+t = 0

        mit pq-Formel  x = 1/2 ± √ ( 1/4 - t )

Damit es genau eine Nullstelle gibt, muss der Term in der

Wurzel  also  1/4 - t gleich 0 sein

also   1/4 - t = 0

               t = 1/4  Also gibt es für t=1/4 genau eine.

Für t > 1/4 ist der Term in der Wurzel negativ, also keine Nullstelle

für t < 1/4 ist es in der Wurzel pos. also dann zwei Nullstellen.

Die anderen kannst du ja probieren und zur Kontrolle hier reinstellen.

Comments

Vielen Dank für die genaue Erklärung.

Answer 2

 ft ( x ) = x² - x + t
Schnittstelle mit der x-achse = Nullpunkt : y = 0

x^2 - x + t = 0
x^2 - x = -t  | quadratische Ergänzung oder pq-Formel
x^2 - x + (1/2)^2 =  -t + 1/4
( x - 1/2 )^2 =  -t + 1/4  | √
x -1/2 = ± √ ( 1/4 - t )
Falls

1/4 -t < 0 ist ( negativ ) gibt es keine Lösung
t > 1/4

1/4 - t = 0 gibt es nur eine Lösung
t = 1/4
x - 1/2 = 0
x = 1/2
( 1/2 | 0 )

1/4 - t > 0 gibt  es zwei Lösung
t < 1/4
± √ ( 1/4 - t )
x -1/2 = ± √ ( 1/4 - t )
x =  + √ ( 1/4 - t ) + 1/2
x =  - √ ( 1/4 - t ) + 1/2

t > 1/4 ( blau ) 1/2
t = 1/4 ( rot )  1/4
t < 1/4 ( grün ) 1/8

~plot~ x^2 - x + 1/2 ; x^2 - x + 1/4 ; x^2 - x + 1/8 ; [[ -1 | 1 | -0.5 | 1 ]]~plot~

Answer 3

a)  f_t(x) = ½ x² + t/2 • x – t²  = 0  | • 2

x² + t • x - 2t² = 0

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = t ; q = -2t²

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

Die Gleichung hat 

2 Lösungen, wenn (p/2)² - q  = t²/4 + 2t² > 0 gilt, also für t ≠ 0   [ x = - 2·t ∨oder x = t ]

1 Lösung,      wenn (p/2)² - q  = t²/4 + 2t² = 0 gilt, also für t = 0   [ x = 0 ]

Sie hätte keine Lösung, wenn (p/2)² - q  = t²/4 + 2t² < 0 gelten würde, was hier für keinen Wert von t der Fall ist.

Gruß Wolfgang