Ungleichung mit Betrag Fälle bestimmen

Question

Hallo ich habe diese Ungleichung:

$$ \frac { |x+3| }{ |x-2| } <\frac { |x+2| }{ |x-1| }  $$

Ich habe das umgestellt nach:

|x+3||x-1|<|x+2||x-2|

|(x+3)(x-1)|<|(x+2)(x-2)|

Ich hänge gerade etwas bei der Fallunterscheidung, wie muss die hier aufgestellt werden?

Etwa:

(x+3)(x-1) >= 0 && (x+3)(x-1) < 0 (für den ersten Teil) ???

Answer 1

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullstellen der Betragsfunktion feststellen

Hier 4 Stellen

- auf einem Zahlenstrahl werden die Werte eingetragen

- es ergeben sich 5 Bereiche die getrennt untersucht werden müssen.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Man kann die Fälle von 5 auf 3 reduzieren



Einen Fall nach Wahl kann ich bei Bedarf einmal vorrechnen

Answer 2

ABS(x + 3)/ABS(x - 2) < ABS(x + 2)/ABS(x - 1)

ABS(x + 3)*ABS(x - 1) < ABS(x + 2)*ABS(x - 2)

ABS((x + 3)*(x - 1)) < ABS((x + 2)*(x - 2))

Fallunterscheidungen

Fall 1: x ≤ -3

Fall 2: -3 ≤ x ≤ -2

Fall 3: -2 ≤ x ≤ 1

Fall 4: 1 ≤ x ≤ 2

Fall 5: 2 ≤ x

Du solltest nachher auf folgende Lösung kommen

]-∞ ; -2.436491673[ ∪ ]-0,5 ; 1[ ∪ ]1 ; 1.436491673[

Comments

Ah danke. Aber wie genau komme ich an diese Fälle heran. Also was muss ich mir überlegen um auf bsp: 1<=x<=2 zu kommen?

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Frage dich wo die einzelnen Faktoren ein Vorzeichenwechsel haben. Du hast 4 Faktoren also 4 Vorzeichen wechsel. Diese sind geordnet bei

-3 | -2 | 1 | 2

Siehst du jetzt wie die Fälle daraus hervorgehen?

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Ah genau! Jetzt sehe ich das auch. Danke das brauchte ich um das zu verstehen!

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Wie bist du genau auf die Lösungsmenge gekommen, dort wäre ein Rechenweg für mich sehr hilfreich.

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Gehe alle Fälle durch und rechne erstmal alle Fällt getrennt aus. Schaffst du das ?

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Ich fange mal an:

F1:

-(x+3)(x-1)<(x+2)(x-2) bzw. (-x-3)(x-1)<(x+2)(x-2)

...

F2:

-(x+3)(x-1)<-(x+2)(x-2) bzw. (-x-3)(-x+1)<(x+2)(x-2)

...

F3:

(x+3)(x-1)<-(x+2)(x-2) bzw. (x+3)(-x+1)<(-x-2)(x-2)

...

F4:

(x+3)(x-1)<-(x+2)(x-2) bzw 

F5:

bzw. (x+3)(x-1)<(x+2)(-x+2)

Soweit richtig?

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Nein. Gehe jeden Faktor durch. Wird er in dem Fall negativ kommt ein Minus davor.

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Okay Versuch 2:

Für den ersten Fall:

x = -4 so:

-4+3 negativ, -4-1 negativ, -4+2 negativ, -4-2 negativ

-(x+3)*-(x-1)<-(x+2)*-(x-2)

Richtig?

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Genau man verrechne die Vorzeichen

-(x+3)*-(x-1)<-(x+2)*-(x-2)

(x+3)*(x-1) < (x+2)*(x-2)

Lösen sollte nicht mehr ganz so schwer fallen

x < -0.5

Wobei du jetzt noch den Fall berüchsichtigen musst. 

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Danke dir. Dann habe ich noch eine weitere Frage:

Gehe jeden Faktor durch. Wird er in dem Fall negativ kommt ein Minus davor.

Das hört sich wie eine Regel an. Ist die nur für den Betrag gültig oder auch für Ungleichungen anderer Art?

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Das ist für den Betrag gültig

|z| = z für z >= 0

|z| = -z für z <= 0

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Ah gut ich verstehe! Danke für deine Hilfe!

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Zur Information : die Lösungsmenge vom Mathecoach stimmt.