Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix mit c Element aller reellen Zahlen

Question

Hier bin ich wieder. Also zunächst mal ganz normal die Determinante berechnen: -λ³ +7λ² -15λ -cλ +9 +c = 0 => -λ³ +7λ² -λ(15+c) +9 +c = 0. Und hier hakst schon bei mir. λ=0 wäre eine Nullstelle für c = -9.  Ich dachte da eher daran am Ende meine Nullstellen so aufschreiben zu können, dass sie von c abhängen, aber sie hängen ja jetzt schond davon ab :/ . Reelle Eigenwerte sind dich Eigenwerte die Element aller Rellen Zahlen sind oder nicht? Also keine komplexen Zahlen. Wie genau muss ich jetzt hier vorgehen?

Answer 1

verwechsel bitte nicht die Determinante einer Matrix mit dem charakteristischen Polynom.

Tipp an dieser Stelle: Unabhängig von \(c\) hast du immer den Eigenwert \(\lambda_1=1\).

Gruß

Comments

Ich bekomme da dann jetzt -λ²+6λ+(9-c) und Rest 18, also -λ² +6λ +(9-c) +18 / (λ-1)

Habe ich da was falsch gemacht?

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ah whoops ausversehen mit 9-c gerechnet -.-"

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okay jetzt habe ich da einen Rest von 2c :/

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Nach Polynomdivision müsstest du auf den reduzierten Term \(-\lambda^2+6\lambda-(9+c)\) kommen.

Wenn du bei der PD noch am Ende einen Rest hast, dann hast du definitiv was falsch gemacht!

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Okay, habe meinen Fehler gefunden. Ich habe -λ falsch ausgeklammert :/

Am Ende bekomme ich dann raus λ =√(-c)+3, das heißt meine Lösung ist, dass für alle c<=0 meine Nullstellen reell sind richtig?

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Du kriegst  2 weitere Eigenwerte:
$$ \lambda_{2,3} = 3 \pm \sqrt{-c} $$
\(c < 0\): 2 weitere reelle Eigenwerte
\(c=0\) 1 weiterer reeller Eigenwert
\(c>0\): 2 weitere komplexe Eigenwerte

Answer 2

die Lösung λ=1 kannst du raten, dann eine Polynomdivision durch   λ-1 durchführen und das quadratische Ergebnis wieder = 0 setzen und die Gleichung mit der pq-Formel lösen.

Gruß Wolfgang

Comments

Ich bekomme da dann raus λ²+6λ+(-9+c) und Rest 2c und den Rest muss man ja durch  λ-1 nehmen. Hätte ich dann als Lösung c=0?

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a = λ

(-a³ + 7a² - a • (15+c) + 9 + c) / (a-1) = - a² + 6·a - c - 9  sagt mein Rechner

Also kein Rest  (sonst wäre a = 1 keine Lösung!)