Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften von Moduln in ??? ℤ:
Kommt so ein wenig darauf an, wie ihr "Modul" definiert habt,
wenn ich mal von
https://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29#Moduln_.C3.BCber_einem_kommutativen_Ring_mit_Einselement
ausgehe, ist i) schon mal klar, da es eine additive Gruppe ist, die natürlich
ein 0-Element haben muss
i) die Zahl 0 ist in jedem Modul enthalten
ii) ein Modul in ℤ ist eine Untergruppe der additiven Gruppe
wenn M eine Teilmenge von ℤ ist und selbst eine additive Gruppe, dann
ist es eben eine Untergruppe der additiven Gruppe
iii) für a,b ∈ ℤ sind { ma + nb : m,n ∈ ℤ } und insbesondere {ma : m ∈ ℤ } moduln.
Da musst du nur die Modulaxiome prüfen. Etwa so für M= { ma + nb : m,n ∈ ℤ }
Abgeschlossenheit: wenn ma + nb aus M und xa + yb dann auch
( ma + nb)+( xa + yb) = (m+x)a + (n+y)b aus M, da ja mit m,n,x,y auch
m+x und n+y aus ℤ etc.
iv) ist Μ ein Modul und gilt a,b ∈ Μ, dann folgt ma + nb ∈ Μ für beliebige ganze Zahlen m und n
Da a,b ∈ Μ und die Skalarmultiplikation nicht aus M herausführt sind
ma und nb jedenfalls in M, und weil M eine additive Gruppe ist, auch deren
Summe.
