Funktionsgleichungen bestimmen und ablesen

Question

Bestimme zu den abgebildeten Graphen jeweils eine mögliche Funktionsgleichung.

Überlege zunächst, welchen Grad die Funktion haben könnte.

Answer 1

Aufgabe 3a:

Funktion 3. Grades

f(x) = ax^3 + bx^2 +cx + d
f'x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a

Wir brauchen 4 Informationen aus dem Graphen, um die Funktionsgleichung aufzustellen.

f(0) = 0 => d = 0
f(2) = -4 | 8a +4b + 2c = -4
f'(0) = 0 => c = 0
f'(2) = 0 | 12a + 4b = 0
a = 1
b = -3
c = 0
d = 0

f(x) = x^3 - 3x^2


Aufgabe 3b:

Funktion 2. Grades

f(x) = ax^2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a

Wir brauchen 3 Informationen aus dem Graphen, um die Funktionsgleichung aufzustellen.

f(0) = 1 => c = 1
f(2) = -3 | 4a + 2b + 1 = -3
f'(2) = 0 | 4a + b = 0

a = 1
b = -4
c = 1

f(x) = x^2 - 4x + 1


Aufgabe 3c (analog zu 3a):

Funktion 3. Grades

Hoch- und Tiefpunkt sowie Schnittpunkt mit y-Achse sind gegeben; außerdem scheint in (0|1) ein Wendepunkt zu sein, also
f''(0) = 0.

Comments

Zu Aufgabe a) woher weiss man denn, dass a=1 ist und b = -3

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Das lineare Gleichungssystem lösen, zum Beispiel mit Gauß.

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Hab’s versucht. Bei b) funktioniert es, aber bei 3 muss mir ein Fehler unterlaufen sein.

I: 8a + 2b = -4

II: 12a + 4b = 0

Habe jetzt bei I x2 gerechnet und kam dann auf  I: 16a + 4b = - 8 und habe dann II - I gerechnet. Da kam dann aber -4 a = 8 raus also a = 2

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Zu Aufgabe a) woher weiss man denn, dass a=1 ist und b = -3

aus diesen vier Informationen:

f(0) = 0 => d = 0
f(2) = -4 | 8a +4b + 2c = -4
f'(0) = 0 => c = 0
f'(2) = 0 | 12a + 4b = 0

verbleiben noch die beiden Gleichungen für \(a\) und \(b\)$$8a+4b = -4\\ 12a+4b = 0$$Ziehe die erste Gleichung von der zweiten ab:$$\implies 4a = 4 \implies a = 1$$Setze dann den Wert für \(a\) in die erste Gleichung ein $$8 + 4b = -4$$und löse nach \(b\) auf.

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Hab’s versucht. Bei b) funktioniert es, aber bei 3 muss mir ein Fehler unterlaufen sein.
I: 8a + 2b = -4

$$I:\quad 8a + {\color{red}4}b = -4$$

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Danke, hab den Fehler erkannt :)

Kannst du mir noch bei c helfen?

Ich habe

f(0)=1

f(1)=-1

f“(0)=0

f‘(1)=0

dann f(0) = 1 -> d = 1

f(1)= -a + b + c + d = -1

f“(0) = b = 0

f‘(1) = 3a + c = 0

erstens. war das richtig und 2. wie macht man denn jetzt weiter?

wenn ich

i 3a + c = 0

i -a + c + 1 = -1

aufstelle, kommt für a = 0 raus und das ist laut GTR falsch

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f(1)= -a + b + c + d = -1

$$f(1)= {\color{red}+}a + b + c + d = -1$$

und wenn ich
3a + c = 0
a + c + 1 = -1
aufstelle, kommt \(a=1\) und \(c=-3\) raus.

~plot~ x^3-3x+1;{1|-1} ~plot~

Answer 2

Leider kann man die Aufgabe nicht sehr gut lesen.

3a) ist ein Funktion 3. Grades    f(x) = ax³+bx²+cx+d

  b) ist eine Funktion 2, Grades  f(x) = ax²+bx+c   c= 1

   c) ist  eine Funktiion  3. Grades

Answer 3

1. kubische Parabel :

doppelte Nullstelle bei \(x=0\)   , einfache Nullstelle bei \(x=3\)

Nullstellenform kubische Parabel:

\(f(x)=ax^2(x-3)\)

\( T(2|-4) \):

\(f(2)=4a(2-3)=-4a=-4\)

\(a=1\)

\(f(x)=x^2(x-3)\)

2. quadratische Parabel:

Scheitelpunkt S\((2|-3)\)
Scheitelform der Parabel:
\(f(x)=a(x-2)^2-3\)
A\(0|1)\):
\(f(0)=a(0-2)^2-3=4a-3\)
\(4a-3=1\)
\(a=1\):
\(f(x)=(x-2)^2-3\)

3. kubische Parabel :

verschiebe um 1 Einheit nach oben,
dann wie bei 1.